2011年广州市中考数学试卷

2011年广东省广州市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．四个数﹣5，﹣0.1，，中为无理数的是（　　）

 A．﹣5  B．﹣0.1  C．  D．

2．已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（　　）

 A．4  B．12  C．24  D．28

3．某车间5名工人日加工零件数分别为6，10，4，5，4，则这组数据的中位数是（　　）

 A．4  B．5  C．6  D．10

4．将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（　　）

 A．（0，1）  B．（2，﹣1）  C．（4，1）  D．（2，3）

5．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（　　）

 A．y=x2  B．y=x﹣1  C．  D．

6．若a＜c＜0＜b，则abc与0的大小关系是（　　）

 A．abc＜0  B．abc=0  C．abc＞0  D．无法确定

7．下面的计算正确的是（　　）

 A．3x2•4x2=12x2  B．x3•x5=x15  C．x4÷x=x3  D．（x5）2=x7

8．如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　）

 A．  B．  C．  D．

9．当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（　　）

 A．y≥﹣7  B．y≥9  C．y＞9  D．y≤9

10．如图，AB切⊙O于点B，OA=2，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（　　）

A．  B．  C．π  D．

二、填空题：（每小题3分，共18分）

11．9的相反数是　_________　．

12．已知∠α=26°，则∠α的补角是　_________　度．

13．方程的解是　_________　．

14．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是　_________　．

15．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．

其中真命题的是　_________　．（填写所有真命题的序号）

16．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）=　_________　．

三、解答题（本大题共9大题，满分102分）

17．解不等式组．

18．如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．

求证：△ACE≌△ACF．

19．分解因式：8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．

20．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．

（1）该几何体的体积是　_________　（立方单位），表面积是　_________　（平方单位）

（2）画出该几何体的主视图和左视图．

21．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．

（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？

22．某中学九年级（3）班50名学生参加平均每周上网时间的调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：

（1）求a的值；

（2）用列举法求以下事件的概率：从上网时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，其中至少有1人的上网时间在8～10小时．

23．已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=．

（1）求k的值和边AC的长；

（2）求点B的坐标．

24．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）

（1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．

25．如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

2011年广东省广州市中考数学试卷参考答案

一、1． D．2． B． 3． B．4． A．5． D．6． C．7． C．8． D．9． B．10． A．

二、11.﹣9．12． 154．13． x=1．14． 1：2．15．①②④．16． 8．

三、17．解：，

由①得，得x＜4，

由②得，得x＞﹣，

18．证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，

∴∠FAC=∠EAC，

∵AC=AC，AE=AF，

∴△ACE≌△ACF．

19．解：原式=8x2﹣16y2﹣7x2﹣xy+xy=x2﹣16y2=（x+4y）（x﹣4y）．

20．解：（1）每个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为5×1=5；

∵组合几何体的前面和后面共有5×2=10个正方形，上下共有6个正方形，左右共6个正方形，每个正方形的面积为1，

∴组合几何体的表面积为22．故答案为：5，22；

（2）作图如下：

21．解：（1）120×0.95=114（元），

若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付114元；

（2）设所付钱为y元，购买商品价格为x元，则按方案一可得到一次函数的关系式：

y=0.8x+168，

则按方案二可得到一次函数的关系式：

y=0.95x，

如果方案一更合算，那么可得到：

0.8x+168＜0.95x，

解得，x＞1120，

∴所购买商品的价格在1120元以上时，采用方案一更合算．

22．解：（1）依题意a=50﹣6﹣25﹣3﹣2=14，∴a的值为14；

（2）∵根据图中数据可以知道上网时间在6～8小时的人数有3人，上网时间在8～10小时有2人，

∴从上网时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人共有10可能，

其中至少有1人的上网时间在8～10小时有3×2+1=7中可能，

∴P（至少有1人的上网时间在8～10小时）=7÷10=0.7．

23．解：（1）∵点C（1，3）在反比例函数y=的图象上，∴3=，解得k=3，

∵sin∠BAC=∴sin∠BAC==∴AC=5；

（2）①当点B在点A右边时，如图，

∵△ABC是直角三角形，

∴∠DAC=∠DCB，

又∵sin∠BAC=，

∴tan∠DAC=，

∴，

又∵CD=3，

∴BD=，

∴OB=1+=，

∴B（，0）；

②当点B在点A左边时，如图，

∵△ABC是直角三角形，

∴∠DAC=∠DCB，

又∵sin∠BAC=，

∴tan∠DAC=，

∴，

又∵CD=3，

∴BD=，BO=BD﹣1=，

∴B（﹣，0）

∴B（﹣，0），（，0）．

24．（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，

解得：c=1，

答：c的值是1．

（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，

∴b=﹣1﹣a，

ax2+bx+1=0，

b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0，

∴a≠1，

答：a的取值范围是a＞0，且a≠1；

（3）证明：∵0＜a＜1，b=﹣1﹣a，，

∴B在A的右边，

设A（m，0），B（n，0），

∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0，

由根与系数的关系得：m+n=，mn=，

∴AB=n﹣m==，

把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，

解得：x1=0，x2=，

∴CD=，

过P作MN⊥CD于M，交X轴于N，

则MN⊥X轴，

∵CD∥AB，

∴△CPD∽△BPA，

∴=，

∴=，

∴PN=，PM=，

∴S1﹣S2=••﹣••=1，

即不论a为何值，

S1﹣S2的值都是常数．

答：这个常数是1．

25．（1）证明：∵AB是直径，

∴∠BCA=90°，

而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，

∴B、C、E三点共线；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1，

∵CB=CA，CD=CE，

∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，

∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，

又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，

∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；

∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，

∴MN=OM；

（3）成立．

理由如下：如图2，连接BD1，AE，ON1，

和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，

同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，

从而有M1N1=OM1．