2022-2023学年广东省深圳外国语学校七年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳外国语学校七年级（下）期末数学试卷，共26页。
2022-2023学年广东省深圳外国语学校七年级（下）期末数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1.5，b＝2，c＝3 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝7，b＝24，c＝25
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）估计×（﹣）的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，点D为BC上一点，把△ABD沿AD折叠到△AB'D，点B的对应点恰好落在边BC上，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生
B．“任意画一个三角形．其内角和为360°”是随机事件
C．抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率是0.5
D．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.8，则他投10次可投中8次
7．（3分）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（　　）

A．127.5° B．135° C．120° D．105°
8．（3分）如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）

A．15m B．9m C．7m D．8m
9．（3分）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（　　）
A．0 B．1 C．2018 D．2019
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的周长是14，AB的垂直平分线分别交边AC，AB于点E、D．若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知x的算术平方根是8，那么x的立方根是　 　．
12．（3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为 　 　．

14．（3分）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是3m/秒，乙客轮航行的速度是4m/秒，5分钟后甲到达A地，乙到达B地．若A，B两地的直线距离为1500m，甲客轮沿着北偏东35°的方向航行，则乙客轮的航行方向是 　 　．

15．（3分）如图，△ABC中，点D是AB的垂直平分线与AC的交点，AK⊥BD交BD延长于点K，若AB＝AC，AK＝3，BC＝，则△ABC的面积为 　 　．

三.解答题（共7题，共55分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）​．
17．（6分）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下面式子的结果：＝　 　；
（2）应用：化简；
（3）拓展：＝　 　．​
（用含n的式子表示，n为正整数）
18．（6分）如图所示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线m与网格中竖直的线重合．
（1）作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′（其中A的对称点为A′，B的对称点为B′，C的对称点为C′）；
（2）△ABC的面积为 　 　；
（3）点P是直线m上的动点，求PB+PC的最小值．

19．（8分）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，且∠ADC+∠B＝180°​．
（1）求证：BE＝DF．
（2）若DF＝1，AD＝3，求AB的长．

20．（7分）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米．
（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．

21．（10分）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠B的度数．
​

22．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），点E在直线BC上，连接AD，AE，且∠DAE＝45°．
（1）若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，EF．则BD与CF的数量关系为 　 　；位置关系为 　 　；
（2）若点E是线段CB延长线上一点，如图2，作点D关于直线AE的对称点F，连接AF，BF，EF．求证：BE2+CD2＝DE2；
（3）如图3，若，，求CE的长．
​​​

2022-2023学年广东省深圳外国语学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1.5，b＝2，c＝3 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝7，b＝24，c＝25
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a2+b2＝1.52+22＝6.25，c2＝32＝9，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵a2+b2＝52+122＝169，c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、a2+b2＝72+242＝625，c2＝252＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式的性质逐项计算判断即可．
【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项中计算错误，不符合题意；
B．，故此选项中计算错误，不符合题意；
C．，故此选项中计算正确，符合题意；
D．，故此选项中计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的性质和相关运算的运算法则是解答的关键．
4．（3分）估计×（﹣）的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先化简题干中的式子得到﹣1，明确的范围，利用不等式的性质求出﹣1的范围得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1．
∵5＜＜6．
∴4＜﹣1＜5．
故选：A．
【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，点D为BC上一点，把△ABD沿AD折叠到△AB'D，点B的对应点恰好落在边BC上，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】利用直角三角形的性质即可得到∠B的度数，再根据折叠的性质即可得到∠AB'D的度数，最后依据三角形外角性质进行计算即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，
∴∠B＝50°，
由折叠可得，∠AB'D＝∠B＝50°，
∵∠AB'D是△AB'C的外角，
∴∠CAB'＝∠AB'D﹣∠C＝50°﹣40°＝10°．
故选：A．
【点评】本题属于折叠问题，主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是理解折叠问题的本质是轴对称的性质的运用．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生
B．“任意画一个三角形．其内角和为360°”是随机事件
C．抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率是0.5
D．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.8，则他投10次可投中8次
【分析】分别根据随机事件以及概率公式分别分析得出即可．
【解答】解：A、如果一件事不是不可能发生，那么它可能发生，故不符合题意；
B、“任意画一个三角形．其内角和为360°”是不可能事件，故不符合题意；
C、抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率是0.5，故符合题意；
D、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.8，则他投10次不一定投中8次，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是概率的意义、概率公式和随机事件的定义，熟记它们的概念是解题的关键．
7．（3分）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（　　）

A．127.5° B．135° C．120° D．105°
【分析】根据平行线的性质求出∠ACF＝∠DFE＝45°，根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．
【解答】解：∵∠D＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°，
∴∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，
∵AC∥EF，
∴∠ACF＝∠DFE＝45°，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA＝×（180°﹣∠ACF）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝127.5°，
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记“等边对等角”是解题的关键．
8．（3分）如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）

A．15m B．9m C．7m D．8m
【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
【解答】解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：D．
【点评】考查了勾股定理的应用，主要先求出两边，利用勾股定理求出第三边．
9．（3分）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（　　）
A．0 B．1 C．2018 D．2019
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围，化简绝对值即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，
∴a≥2019，
∴原式可变形为：a﹣2018+＝a，
∴＝2018，
∴a﹣2019＝20182，
∴a﹣20182＝2019．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的周长是14，AB的垂直平分线分别交边AC，AB于点E、D．若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接AP，根据线段垂直平分线性质得AP＝BP，△PBF周长＝BP+PF+BF＝AP+PF+BF≥AF+BF，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出AF，BF，即可得出答案．
【解答】解：连接AP，如图：

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴△PBF周长＝BP+PF+BF＝AP+PF+BF≥AF+BF．
连接AF，
∵AB＝AC，点F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴△ABC的周长是14，BC＝4，
∴BF＝2，AB＝5，
∴AF＝＝，
∴△PBF周长的最小值是AF+BF＝+2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，根据轴对称求线段和最小值等，判断△PBF周长的最小值是解题的关键．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知x的算术平方根是8，那么x的立方根是　4　．
【分析】利用算术平方根的定义求出x的值，即可确定出x的立方根．
【解答】解：根据题意得：x＝64，
则64的立方根是4，
故答案为：4
【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
12．（3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　　．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵从袋中任意摸出一个球共有6种等可能结果，其中摸出的球是红球的有4种结果，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为 　23　．

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，BC＝2BE＝10，再根据△ABD的周长为13得到AB+AC＝13，据此求解即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．BE＝5，
∴BD＝CD，BC＝2BE＝10，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+BD+AD＝13，
∴AB+AD+CD＝13，
∴AB+AC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝23，
故答案为：23．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
14．（3分）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是3m/秒，乙客轮航行的速度是4m/秒，5分钟后甲到达A地，乙到达B地．若A，B两地的直线距离为1500m，甲客轮沿着北偏东35°的方向航行，则乙客轮的航行方向是 　北偏西55°　．

【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【解答】解：如图，

甲的路程：OA＝3×5×60＝900（m），
乙的路程：OB＝4×5×60＝1200（m），
∵9002+12002＝15002，即：OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，即甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
∵甲客轮沿着北偏东35°，即：∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣35°＝55°，
∴乙客轮的航行方向是北偏西55°，
故答案为：北偏西55°．
【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15．（3分）如图，△ABC中，点D是AB的垂直平分线与AC的交点，AK⊥BD交BD延长于点K，若AB＝AC，AK＝3，BC＝，则△ABC的面积为 　　．

【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△ADK≌△BDE（AAS），得BE＝AK＝3，由勾股定理得CE＝1，根据已知角的关系和三角形的内角和定理得：∠C＝∠ABC，所以AB＝AC，设AC＝x，由勾股定理列方程可得x的值，从而解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于E，

∵点D是AB的垂直平分线与AC的交点，
∴AD＝BD，
在△ADK和△BDE中，
，
∴△ADK≌△BDE（AAS），
∴BE＝AK＝3，
在Rt△BEC中，∵BC＝，
∴CE＝＝＝1，
∵∠BCD＝90°﹣∠BAC，
∴2∠BCD+∠BAC＝180°，
∵∠BCD+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
设AC＝x，则AB＝x，AE＝x﹣1，
由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴AC＝5，
∴△ABC的面积＝•AC•BE＝×5×3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的性质和判定，三角形的面积，作辅助线计算BE的长是解本题的关键．
三.解答题（共7题，共55分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）​．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝1+﹣1+1
＝1+；
（2）​
＝﹣2﹣+5+﹣1
＝2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（6分）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下面式子的结果：＝　﹣　；
（2）应用：化简；
（3）拓展：＝　　．​
（用含n的式子表示，n为正整数）
【分析】（1）分母有理化即可；
（2）把每个加数分母有理化，再合并同类二次根式即可；
（3）把每个加数分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）＝＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）原式＝﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣；
（3）原式＝+++…+
＝
＝；
故答案为：．
【点评】本题考二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握分母有理化的方法．
18．（6分）如图所示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线m与网格中竖直的线重合．
（1）作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′（其中A的对称点为A′，B的对称点为B′，C的对称点为C′）；
（2）△ABC的面积为 　3.5　；
（3）点P是直线m上的动点，求PB+PC的最小值．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的时间三角形面积即可；
（3）连接CB′交直线m于点P，连接BP，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）如图，△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×1×3＝3.5．
故答案为：3.5；
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，且∠ADC+∠B＝180°​．
（1）求证：BE＝DF．
（2）若DF＝1，AD＝3，求AB的长．

【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，根据等角的补角相等得∠B＝∠CDF，利用AAS证出两三角形全等即可得出结论；
（2）根据线段的和差求出AF＝4，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ACF，结合（1），根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，
∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在△BCE与△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：∵AD＝3，DF＝1，
∴AF＝AD+DF＝4，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE＝4，
∵△BCE≌△DCF，
∴DF＝BE＝1，
∴AB＝AE+BE＝5．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
20．（7分）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米．
（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定△ADC为直角三角形，再利用勾股定理解答即可；
（2）利用三角形的面积公式列出关于DE的方程解答即可．
【解答】解：（1）∵AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米，
∴AC2＝169，AD2+CD2＝144+25＝169，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°．
∴BD＝＝＝9（米）．
（2）∵S△ABD＝AD•BD＝AB•DE，
∴AD•BD＝AB•DE，
∴12×9＝15DE，
∴DE＝（米）．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
21．（10分）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠B的度数．
​

【分析】（1）证明∠B＝∠AEB＝2∠C，∠C＝∠CAE，从而得出结论；
（2）AC是腰时，AD＝AC，AD＝BD；AC是底时，AD＝CD，AB＝BD，可画出图形；
（3）分为AD＝AC，AD＝CD及AC＝CD三种情形，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠CAE，△ACE是等腰三角形，
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线；
（2）解：如图1，

（3）解：如图2，

当AD＝CD，AB＝AD时，∠B＝60°，
如图3，

当AD＝AC，AD＝BD时，∠B＝15°，
如图4，

当AC＝CD，AD＝BD时，∠B＝37.5°，
综上所述：∠B＝60°或15°或37.5°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
22．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），点E在直线BC上，连接AD，AE，且∠DAE＝45°．
（1）若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，EF．则BD与CF的数量关系为 　CF＝BD　；位置关系为 　CF⊥BD　；
（2）若点E是线段CB延长线上一点，如图2，作点D关于直线AE的对称点F，连接AF，BF，EF．求证：BE2+CD2＝DE2；
（3）如图3，若，，求CE的长．
​​​
【分析】（1）由∠DAE＝45°，D，F关于直线AE对称，得∠FAE＝∠DAE＝45°，AF＝AD，可证△ACF≌△ABD（SAS），有CF＝BD，∠ACF＝∠B，故BD⊥CF；
（2）证明△ACD≌△ABF（SAS），得CD＝BF，∠ABF＝∠C，可得∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝90°＝∠EBF，从而可得BE2+CD2＝DE2；
（3）作D关于AE的对称点F，连接AF，EF，BF，分两种情况：当E在D左侧时，证明△ACD≌△ABF（SAS），得CD＝BF＝，∠ABF＝∠B，可得∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝90°，设DE＝EF＝m，有（）2+（﹣m）2＝m2，即可求出CE＝+＝；当E在D的右侧时，同理可得CE＝3．
【解答】（1）解：∵∠DAE＝45°，D，F关于直线AE对称，
∴∠FAE＝∠DAE＝45°，AF＝AD，
∴∠DAF＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AC＝AB，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∴BD⊥CF；
故答案为：CF＝BD，CF⊥BD；
（2）证明：如图2：

∵∠DAE＝45°，D，F关于直线AE对称，
∴∠FAE＝∠DAE＝45°，AF＝AD，EF＝DE，
∴∠DAF＝90°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠FAB，
∵AC＝AB，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD＝BF，∠ABF＝∠C，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∴∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝90°＝∠EBF，
∴BE2+BF2＝EF2，
∴BE2+CD2＝DE2；
（3）解：作D关于AE的对称点F，连接AF，EF，BF，
当E在D左侧时，如图3：

∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，
∴BC＝2，
∵BD＝，
∴CD＝BC﹣BD＝，
∵∠DAE＝45°，D，F关于直线AE对称，
∴∠FAE＝∠DAE＝45°，AF＝AD，DE＝EF，
∴∠DAF＝90°＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAC，
∵AC＝AB，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD＝BF＝，∠ABF＝∠B，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∴∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
设DE＝EF＝m，则BE＝BD﹣DE＝﹣m，
∴（）2+（﹣m）2＝m2，
解得m＝，
∴CE＝+＝；
当E在D的右侧时，如图4：

同理可得△ABD≌△ACF（SAS），CD＝BC﹣BD＝，
∴BD＝CF＝，
设DE＝EF＝n，则CE＝DE﹣CD＝n﹣，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴（）2+（n﹣）2＝n2，
解得n＝，
∴CE＝DE﹣CD＝﹣＝3；
综上所述，CE的长为或3．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及分类讨论思想的应用．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/28 10:27:30；用户：卢老师；邮箱：orFmNt8IZZMl8xluQWjbL_M4fk4A@weixin.jyeoo.com；学号：38590799