2011年深圳市中考数学试卷及答案

2011年广东省深圳市中考数学试卷

一．（本部分共12小题，每小题3分，共36分。）

1．的相反数等于（    ）

   A．           B．           C．－2           D．2

2．如图1所示的物体是一个几何体，其主视图是（    ）

        A．           B．           C．           D．            图1

3．今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人，这个数据用科学记数法表示为（    ）

   A．5.6×103           B．5.6×104           C．5.6×105           D．0.56×105

4．下列运算正确的是（    ）

   A．x2＋x3＝x5        B．(x＋y)2＝x2＋y2         C．x2·x3＝x6         D．(x2)3＝x6

5．某校开展为“希望小学”捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：2，3，2，2，6，7，6，5，则这组数据的中位数为（    ）

   A．4              B．4.5              C．3              D．2

6．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（    ）

   A．100元          B．105元          C．108元          D．118元

7．如图2，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（    ）

        图2              A．             B．             C．             D．

8．如图3是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字。如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），当转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是（    ）

   A．         B．         C．         D．

9．已知a，b，c均为实数，若a>b，c≠0。下列结论不一定正确的是（    ）

   A．         B．         C．         D．

10．对抛物线而言，下列结论正确的是（    ）

 A．与x轴有两个交点  B．开口向上  C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标为（1，－2）

11．下列命题是真命题的个数有（    ）

①垂直于半径的直线是圆的切线； ②平分弦的直径垂直于弦；

③若是方程x－ay＝3的一个解，则a＝－1；

④若反比例函数的图像上有两点（，y1），（1，y2），则y1<y2。

   A．1个          B．2个          C．3个          D．4个

12．如图4，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（    ）

A．      B．      C．5:3      D．不确定

二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分。）

13．分解因式：a3－a＝______________________。

14．如图5，在⊙O中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝cm，则OA＝___________cm。

15．如图6，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的

周长是＝______________________。

      （1）      （2）       （3）            （4）          ……

                                   图6 

16．如图7，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为：，则tanA的值是___________。

三．解答题（共7小题，其中第17小题5分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题8分，第21小题8分，第22小题9分，第23小题9分，共52分）

17．（5分）计算：。

18．（6分）解分式方程：。

19．（7分）某校为了了解本校八年级学生课外阅读的喜欢，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）。图8是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）这次活动一共调查了_________名学生；

（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形圆心角等于_________度；   （3）补全条形统计图；

（4）若该年级有600人，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是_________人。

20．如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）

21．（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。（1）求证：AG＝C′G；（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。

22．（9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：

（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总费用y（元）与x（台）的函数关系式；

（2）要使总费用不高于20200元，请你帮忙该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；

（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？

23．（9分）如图13，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴

于点D，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2） 如图14，过点A的直线与抛物线

交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的

一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个

最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。（3） 如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T

作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。

若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

深圳市2011年初中毕业生学业考试

数 学 试 卷·参 考 答 案

第一部分：选择题

第二部分：填空题：

13、a(a＋1)(a－1)     14、4      15、2＋n      16、

解答题：

17、原式

18、解：方程两边同时乘以：(x＋1)(x－1)，得：

          2x (x－1)＋3(x＋1)＝2(x＋1)(x－1)

        整理化简，得

          x＝－5

        经检验，x＝－5是原方程的根

        原方程的解为：

          x＝－5

（备注：必须验根，没有验根的扣2分）

19、（1）200；   （2）36；   （3）如图1；   （4）180

20、（1）证明：如图2，连接AB、BC，

∵点C是劣弧AB上的中点

∴ 

∴CA＝CB

又∵CD＝CA

  ∴CB＝CD＝CA

  ∴在△ABD中，

∴∠ABD＝90° ∴∠ABE＝90° ∴AE是⊙O的直径

（2）解：如图3，由（1）可知，AE是⊙O的直径

∴∠ACE＝90°

∵⊙O的半径为5，AC＝4 ∴AE＝10，⊙O的面积为25π

在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：

∴S△ACE＝∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝

21、（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，

CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°

在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°

∴AB＝ C′D，∠A＝∠C′

在△ABG和△C′DG中，

∵AB＝ C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD

∴△ABG≌△C′DG（AAS） ∴AG＝C′G

   （2）解：如图5，设EM＝x，AG＝y，则有：

C′G＝y，DG＝8－y，，

在Rt△C′DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6，

∴ C′G2＋C′D2＝DG2

即：y2＋62＝（8－y）2

解得：

    ∴C′G＝cm，DG＝cm

又∵△DME∽△DC′G ∴ ，  即：

解得：，  即：EM＝（cm）

∴所求的EM长为cm。

22、解：（1）表2如右图所示，依题意，得：

y＝800x＋700(18－x)＋500(17－x)＋600(x－3)

即：y＝200x＋19300（3≤x≤17）

       （2）∵要使总运费不高于20200元

∴200x＋19300<20200

解得：

∵3≤x≤17，且设备台数x只能取正整数

∴ x只能取3或4。∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表：

                  表3                                  表4

（3）由（1）和（2）可知，总运费y为：

y＝200x＋19300（x＝3或x＝4） 

由一次函数的性质，可知：

当x＝3时，总运费最小，最小值为：ymin＝200×3＋19300＝19900（元）。

答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。

23、解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得：

   a(3－1)2＋4＝0

解得：a＝－1

∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4

       （2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

            在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，得

y＝－(2－1)2＋4＝3

∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D

∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3

  当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）

又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，

  ∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

       解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1

∴当x＝0时，y＝1

∴点F坐标为（0，1）

∴………………………………………③

又∵点F与点I关于x轴对称，

∴点I坐标为（0，－1）

∴………④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知，

  DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0），

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：

         解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1

∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；

∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

由③和④，可知：

  DF＋EI＝

∴四边形DFHG的周长最小为。

（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，

即：MD2＝NM×BD………………………………⑤

设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得

  △AMN∽△ABD，

∴

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4

∴

∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9，

∴⑤式可写成： a2＋9＝×

解得：

    a＝或a＝3（不合题意，舍去）

∴点M的坐标为（，0）

又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上，

∴当x＝时，y＝

∴点T的坐标为（，）