2014年杭州市中考数学试卷与答案

2014年杭州市中考数学试题　

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．3a•（﹣2a）2=（　　）        A．﹣12a3 B．﹣6a2C． 12a3  D．6a3

2．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（　　）

　 A．12πcm2 B． 15πcm2 C． 24πcm2     D． 30πcm2

3．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（　　）

　 A．3sin40° B． 3sin50° C． 3tan40° D． 3tan50°

4．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（　　）

A．a是无理数 B．a是方程x2﹣8=0的解 C．a是8的算术平方根 D．a满足不等式组

5．下列命题中，正确的是（　　）

　 A．梯形的对角线相等 B． 菱形的对角线不相等

　 C．矩形的对角线不能相互垂直 D． 平行四边形的对角线可以互相垂直

6．函数的自变量x满足≤x≤2时，函数值y满足≤y≤1，则这个函数可以是（　　）

　 A．y= B．y= C．y= D． y=

7．若（+）•w=1，则w=（　　）

　 A．a+2（a≠﹣2）  B．﹣a+2（a≠2）  C．a﹣2（a≠2） D．﹣a﹣2（a≠﹣2）

8．已知2001年至2012年杭州市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）的两幅统计图．由图得出如下四个结论：①学校数量2007年～2012年比2001～2006年更稳定；②在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；③2009年的大于1000；

④2009～2012年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011～2012年．

其中，正确的结论是（　　）

　 A．①②③④ B． ①②③ C． ①② D． ③④

9．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于（　　）

　 A． B．  C．  D． 

10．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（　　）

A．1+tan∠ADB=    B．2BC=5CF     C．∠AEB+22°=∠DEF D． 4cos∠AGB=

二、认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．2012年末统计，杭州市常住人口是880.2万人，用科学记数法表示为　        　人．

12．已知直线a∥b，若∠1=40°50′，则∠2=　         　．

13．设实数x、y满足方程组，则x+y=　      　．

14．已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是　     　℃．

15．设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　                      　．

16．点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于            （长度单位）

三、全面答一答（本题共7小题，共66分）

17．（6分）一个布袋中装有只有颜色不同的a（a＞12）个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整）．请补全该统计图并求出的值．

18．（8分）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．

19．（8分）设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．

20．（10分）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．

（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．

21．（10分）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣x，y=x的图象分别是直线l1，l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．

22．（12分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x．

（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1=S2，求x的值．

23．（12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．

学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：

①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．

2014年杭州市中考数学试题答案

1．C2．B3．D4．D5．D6．A7．D8．B9．C10．A

11．　8.802×106　．12． 139°10′　．13．8    14．15.6   

15．　y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2　．16．　πr或r　．

三、17．解：球的总数：4÷0.2=20（个），

2+4+6+b=20，

解得：b=8，

摸出白球频率：2÷20=0.1，

摸出红球的概率：6÷20=0.3，

===0.4．

18．解：在△ABF和△ACE中，

，

∴△ABF≌△ACE（SAS），

∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），

∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），

∵AB=AC，AE=AF，

∴BE=BF，

在△BEP和△CFP中，

，

∴△BEP≌△CFP（AAS），

∴PB=PC，

∵BF=CE，

∴PE=PF，

∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF．

19．解：能．

（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）

=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）

=（4x2﹣y2）2，

当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，

令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，

即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．

20．解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5；

即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形，如图所示：

（2）如图所示：

当三边的单位长度分别为3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为2.5；

当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为，

∴当三条线段分别为3，4，5时其外接圆周长为：2π×2.5=5π；

当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：2π×=π．

21．解：（1）①若圆P与直线l和l2都相切，

当点P在第四象限时，

过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示．

设y=x的图象与x轴的夹角为α．

当x=1时，y=．

∴tanα=．

∴α=60°．

∴由切线长定理得：∠POH=（180°﹣60°）=60°．

∵PH=1，

∴tan∠POH===．

∴OH=．

∴点P的坐标为（，﹣1）．

同理可得：

当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；

当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；

②若圆P与直线l和l1都相切，如图2所示．

同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为（，1）；

当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；

当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；

当点P在第四象限时，点P的坐标为（，﹣1）．

③若圆P与直线l1和l2都相切，如图3所示．

同理可得：

当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为（，0）；

当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为（﹣，0）；

当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0，2）；

当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，﹣2）．

综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有：

（，﹣1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、

（，1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、（，﹣1）、

（，0）、（﹣，0）、（0，2）、（0，﹣2）．

（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示．

由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，

由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．

∴该图形的周长=12×（﹣）=8．

22．解：（1）①当点P在BO上时，如图1所示．

∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=4，

∴AC⊥BD，BO=BD=2，AO=AC=2，

且S菱形ABCD=BD•AC=8．

∴tan∠ABO==．

∴∠ABO=60°．

在Rt△BFP中，

∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，

∴sin∠FBP===sin60°=．

∴FP=x．

∴BF=．

∵四边形PFBG关于BD对称，

四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，

∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ．

∴S1=4S△BFP

=4××x•

=．

∴S2=8﹣．

②当点P在OD上时，如图2所示．

∵AB=4，BF=，

∴AF=AB﹣BF=4﹣．

在Rt△AFM中，

∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣．

∴tan∠FAM==tan30°=．

∴FM=（4﹣）．

∴S△AFM=AF•FM

=（4﹣）•（4﹣）

=（4﹣）2．

∵四边形PFBG关于BD对称，

四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，

∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN．

∴S2=4S△AFM

=4×（4﹣）2

=（x﹣8）2．

∴S1=8﹣S2=8﹣（x﹣8）2．

综上所述：

当点P在BO上时，S1=，S2=8﹣；

当点P在OD上时，S1=8﹣（x﹣8）2，S2=（x﹣8）2．

（2）①当点P在BO上时，0＜x≤2．

∵S1=S2，S1+S2=8，

∴S1=4．

∴S1==4．

解得：x1=2，x2=﹣2．

∵2＞2，﹣2＜0，

∴当点P在BO上时，S1=S2的情况不存在．

②当点P在OD上时，2＜x≤4．

∵S1=S2，S1+S2=8，

∴S2=4．

∴S2=（x﹣8）2=4．

解得：x1=8+2，x2=8﹣2．

∵8+2＞4，2＜8﹣2＜4，

∴x=8﹣2．

综上所述：若S1=S2，则x的值为8﹣2．

23．解：①真，将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，

解得：k=0．

运用方程思想；

②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假，如k=1，﹣=，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；

④真，当k=0时，函数无最大、最小值；

k≠0时，y最==﹣，

∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；

当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．