2018年杭州市中考数学试卷与答案

2018年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。

1．|﹣3|=（　　）                             A．3 B．﹣3    C．    D．﹣

2．数据1800000用科学记数法表示为（　　）    A．1.86 B．1.8×106 C．18×105 D．18×106

3．下列计算正确的是（　　）

A．=2    B．=±2   C．=2     D．=±2

4．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（　　）

A．方差 B．标准差 C．中位数 D．平均数

5．若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（　　）

A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN

6．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　）

A．x﹣y=20 B．x+y=20   C．5x﹣2y=60    D．5x+2y=60

7．一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（　　）

A．     B．    C．   D．

8．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（　　）

A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°     B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°

C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°     D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°

9．四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）  A．甲                  B．乙                  C．丙                  D．丁

10．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（　　）

A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2            B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2

C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2        D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。

11．计算：a﹣3a=　   　．

12．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2=　   　．

13．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）=　   　．

14．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=　   　．

15．某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是　   　．

16．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=　   　．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。

17．（6分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．（1）求v关于t的函数表达式．

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？

18．（8分）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．

某校七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数表

（1）求a的值。（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额能否达到50元？

19．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．

20．（10分）设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点．

（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y=的图象所在的象限，说明理由．

21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．

（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．（2）设BC=a，AC=b．

①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC，求的值．

22．（12分）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．

（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．

23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设=k．（1）求证：AE=BF．（2）连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β．求证：tanα=ktanβ．（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．

2018年浙江省杭州市中考数学试卷答案

一、  1.A  2.B  3.A  4.C  5.D  6.C  7.B  8.A  9.B  10.D 

二、11．﹣2a．12． 135°．13．（a﹣b）（a﹣b+1）14． 30°15． 60≤v≤80．16． 3+2．

三、17．解：（1）由题意可得：100=vt，

则v=；

（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，

∴t≤5，

则v≥=20，

答：平均每小时至少要卸货20吨．

18．解：（1）由频数分布直方图可知4.5～5.0的频数a=4；

（2）∵该年级这周收集的可回收垃圾的质量小于4.5×2+5×4+5.5×3+6=51.5（kg），

∴该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额小于51.5×0.8=41.2元，

∴该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额不能达到50元．

19．解：（1）∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，∠B=∠C，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠ADC，

∴△BDE∽△CAD．

（2）∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

在Rt△ADB中，AD===12，

∵•AD•BD=•AB•DE，

∴DE=．

20．解：（1）∵一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，

∴，得，

即该一次函数的表达式是y=2x+1；

（2）点（2a+2，a2）在该一次函数y=2x+1的图象上，

∴a2=2（2a+2）+1，

解得，a=﹣1或a=5，

即a的值是﹣1或5；

（3）反比例函数y=的图象在第一、三象限，

理由：∵点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数y=2x+1的图象上，m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），

假设x1＜x2，则y1＜y2，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，

假设x1＞x2，则y1＞y2，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，

由上可得，m＞0，

∴m+1＞0，

∴反比例函数y=的图象在第一、三象限．

21．解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，

∴∠B=62°，

∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC=59°，

∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；

（2）①由勾股定理得，AB==，

∴AD=﹣a，

解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，

∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；

②∵AD=AE，

∴AE=EC=，

由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，

整理得，=．

22．解：（1）设y=0

∴0=ax2+bx﹣（a+b）

∵△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0

∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．

∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个

（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0

∴抛物线不经过点C

把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得

解得

∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1

（3）当x=2时

m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0①

∵a+b＜0

∴﹣a﹣b＞0②

①②相加得：

2a＞0

∴a＞0

23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠BAG+∠DAG=90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∴∠ADE+∠DAG=90°，

∴∠BAG=∠DAE，

∴△ADE≌△BAF（AAS），

∴AE=BF，

（2）由（1）知，∠BAG=∠EDA，

∵∠ABG=∠DEA，

∴△ABG∽△DEA，

∴，

∴==k

在Rt△DEF中，EF=DE•tanα，

在Rt△BEF中，EF=BF•tanβ，

∴DE•tanα=BF•tanβ，

∴tanα=•tanβ=•tanβ=ktanβ；

（3）方法1、如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC∥AD，AD=BC，

∵=k，

∴=k，

∵AD∥BC，

∴△ADH∽△GBH，

∴==（）2=，

∴S1=•S△BHG，

设△BHG的边BG上的高为h，△ADH的边AD上的高为h'，

∴△ADH∽△GBH

∴==k，∴h=kh'

∴==×=k×=

∴S△BCD=S△BHG，

∴S2=S△BCD﹣S△BHG=S△BHG，

==﹣k2+k+1=﹣（k﹣）2=﹣（k﹣）2+

∴k=时，的最大值为

方法2、如图1，

设正方形的边长为1，

连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N，

设HN=h，HM=h'，

∴h+h'=1，

∵=h，

∴BG=h，=k，

S2=BC×CD﹣k×h=﹣kh，

S1=AD×h'=h'

∴==

=

=﹣（k﹣）2+，

∴k=时，的最大值为．