2022-2023学年上海大学附属嘉定高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海大学附属嘉定高级中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．与角终边重合的角的集合是      .

【答案】

【分析】根据终边相同角的概念直接求解即可.

【详解】与角终边重合的角的集合是.

故答案为：

2．已知扇形的弧长为半径为2，则该扇形的面积为        .

【答案】

【分析】利用扇形的面积公式求解．

【详解】因为扇形的弧长为，半径为2，

根据

故答案为：.

3．若，则点位于第  象限.

【答案】二

【分析】根据给定条件，利用三角函数的符号法则判断作答.

【详解】因，则，

所以点位于第二象限.

故答案为：二

4．函数的最小正周期为      .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用正弦型函数周期公式计算作答.

【详解】函数的最小正周期为.

故答案为：

5．在 中，则角C的大小为         ．

【答案】或

【分析】根据所给条件，结合余弦定理可求得角C的值．

【详解】在三角形中，由余弦定理可知

又因为

所以

即

【点睛】本题考查了余弦定理的简单应用，属于基础题．

6．已知是的中线，，，用、表示      .

【答案】

【分析】根据向量加减法的三角形法则即可求解.

【详解】  

因为，所以，

所以.

故答案为：

7．不等式的解集为      .

【答案】

【分析】画出的图象，由图象即可求解.

【详解】  

画出的图象，如图所示，

由图可知，不等式的解集为.

故答案为：

8．若，向量在方向上的数量投影为－1，则向量与的夹角      .

【答案】/120°

【分析】根据平面向量投影的定义可得的值，即可得向量与的夹角大小.

【详解】因为向量在方向上的数量投影为，又，

所以，又，所以.

故答案为：.

9．若、是函数两个不同的零点，则的最小值为      .

【答案】

【分析】根据三角函数的性质得零点满足的方程，作差即可得答案.

【详解】、是函数的零点满足，

所以，由于

所以的最小值为.

故答案为：.

10．函数的值域为      .

【答案】

【分析】利用同角公式，结合关于的二次函数求解作答.

【详解】依题意，函数，而，

当时，，当时，，

所以函数的值域为.

故答案为：

11．下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是      .（只填写正确说法的序号）

【答案】①③

【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断.

【详解】对于①，令，解得，

当时，，所以函数在区间上为严格增函数，①正确；

对于②，函数的最小正周期为，②错误；

对于③，令，解得，

所以函数图象的对称中心为，③正确.

故答案为：①③

12．已知函数，若，则 ．

【答案】

【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出结果.

【详解】若，由题意，则有，所以，

当时，显然无解；当时，，所以；

若，由题意，则有，所以，

当时，，所以；

当，由得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由分段函数的值求出参数的问题，分类讨论即可，属于常考题型.

二、单选题

13．中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的（ ）

A．有一个解 B．有两个解

C．无解 D．不能确定

【答案】C

【详解】此题考查正弦定理的应用；

根据正弦定理得，所以无解，选C

14．函数，的大致图象是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】B

【解析】利用代入特殊值法进行排除，再结合正弦函数的单调性，即可得结果.

【详解】时，故CD错误；

时，单调递增，故单调递减，所以函数单调递减，故A错误，B正确.

故选：B.

15．在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由结合，可得，从而可得，即可判断B正确；取和，可以判断ACD错误.

【详解】在中，因为，所以，

所以，

因为，所以，

对于B，因为，所以，即，

将上式两边同时除以， 得

所以，B正确；

由可知，令，此时，

则，，；

令，此时，

则，，.

对于A，当时，，

当时，，两者不相等，不为常数，A错误；

对于C，当时，，

当时，，两者不相等，不为常数，C错误；

对于D，当时，，

当时，，两者不相等，不为常数，D错误.

故选：B

16．把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ）

A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移

【答案】D

【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将变成，再提取系数3，由平移的规则研究即可.

【详解】，，

函数的图象向左平移可以得到的图象.

故选：D

三、解答题

17．在中，，，.

(1)求；

(2)求的面积S.

【答案】(1)

(2)84

【分析】（1）根据余弦定理即可求解；

（2）由（1）可求得，再根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）由题意可知，，

根据余弦定理可得；

（2）由（1）可知，，又因为，

，

所以的面积

18．（1）已知，，且及都是锐角.求的值；

（2）在中，已知与是方程的两个根.求.

【答案】（1）；（2）1

【分析】（1）根据平方公式分别求解，再利用和差角公式求解即可得的值；

（2）根据方程的根又韦达定理可得，利用三角形内角和与两角和差的正切公式即可求的值.

【详解】（1）已知，，且及都是锐角，

所以，，

所以

又，所以，故；

（2）因为与是方程的两个根

所以

在中，，

所以.

19．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km.

(1)求的长度；

(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？

【答案】(1)km

(2)km

【分析】（1）利用余弦定理求得，从而求得的长度

（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度.

【详解】（1）联结，在中，由余弦定理可得，

，

所以，即的长度为；

（2）记，则在中，由余弦定理可得：

，即，

从而

所以，则，当且仅当时，等号成立；

新建健康步道的最长路程为，

故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加

20．（

已知函数.

（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（II）若,求的值.

【答案】（1）周期为，最大值为2，最小值为-1

（2）

【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.

试题解析:（1）

所以

又 所以

由函数图像知.

（2）解：由题意

而 所以

所以

所以 =.

【解析】三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式

21．已知函数，.

(1)设，求函数的值域；

(2)求方程，的解集（其中是第（1）小题中的函数）；

(3)在中，角A、B、C所对应的边为a、b、c.若、，的面积为.求的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3)或.

【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数的性质求出值域作答.

（2）由（1）的函数，由给定正弦值求出对应角作答.

（3）由（1）结合已知求出角，由三角形面积公式求出，再由余弦定理、正弦定理求解作答.

【详解】（1）依题意，，

显然，所以函数的值域为.

（2）由（1）及，得，由，得，

所以，解得：，

所以所求解集是.

（3）由，即，，得或，

又，解得，

若，则，解得，因此；

若，则，解得，因此，

所以或.