2022-2023学年四川省达州市万源市万源中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年四川省达州市万源市万源中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再求出集合B，最后根据交集的定义计算可得；

【详解】由已知得，.

所以.

故选：A.

2．若复数（是虚数单位），则对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算化简得复数，再根据共轭复数与复数的几何意义，可得共轭复数应的点所在象限.

【详解】因为，

则，因此，对应的点，在第三象限.

故选：C.

3．若向量满足，则（    ）

A． B． C．8 D．12

【答案】A

【分析】根据数量积的运算求得，再利用模长与数量积的关系求解即可.

【详解】，得，

所以.

故选：A.

4．已知，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】利用同角三角函数的关系化简计算

【详解】因为，

所以，

故选：D

5．若的面积为，，，则（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据三角形面积公式可得，利用余弦定理可得.

【详解】  

由题意，

得,

由余弦定理得，

得.

故选：B

6．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.

【详解】由题意可得：，且，

所以，

所以，

故选：C

【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.

7．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意求出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．

【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，

所以，

因为为偶函数，

所以，即，

当时，可以推导出函数为偶函数，

而函数为偶函数不能推导出，

所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.

故选：A

8．在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围.

【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，

设，则，

当点在上时，设，

则，即，故，

当点在上时，设，

则，即，解得，

故，

当点在上时，设，

则，即，故

综上，的取值范围是.

故选：B

二、多选题

9．设函数，则下列结论正确的有（    ）

A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减

C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称

【答案】ABD

【分析】由周期公式可判断A；利用余弦函数减区间解不等式可判断B；根据余弦型函数的对称轴过最值点，直接验证可判断CD.

【详解】函数的最小正周期，所以A正确；

由得：，因为是的真子集，所以在区间上单调递减，故B正确；

因为，所以的图象关于直线对称，故C不正确；D正确.

故选：ABD

10．“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.

【详解】若关于的不等式对恒成立，

当时，不等式为，满足题意；

时，则必有且

解得，

故的范围为，

故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，

考查选项知满足条件.

故选：

11．已知分别是的内角的对边，且，，则（    ）

A． B． C．面积的最大值为 D．面积的最大值为

【答案】AC

【分析】对于AB，将已知等化简后，利用余弦定理可求得角，对于CD，由，，结合基本不等式可求得，然后利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.

【详解】对于AB，由，得，化简得，

所以由余弦定理得，

因为，所以，所以A正确，B错误，

对于CD，由，，得，当且仅当取等号，

所以，当且仅当取等号，

所以，当且仅当取等号，

所以面积的最大值为，所以C正确，D错误，

故选：AC

12．把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间内不存在零点，则的值可以是（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】ABC

【分析】先利用三角函数图象变换规律求出的解析式，再由求出的范围，然后由题意可得，且（），从而可求出的范围.

【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得

，

由，得，

因为在区间内不存在零点，所以，得，

（），解得（），

因为，所以或，

所以选项ABC符合条件，D不符合条件，

故选：ABC

三、填空题

13．已知复数，则的虚部为           .

【答案】1

【分析】根据复数的四则运算法则，进行运算即可.

【详解】，

的虚部为

故答案为：

14．在分层随机抽样中，总体共分为两层，第一层的样本量为20，样本平均数为5，第二层的样本量为30，样本平均数为10，则该样本平均数为           .

【答案】8

【分析】根据平均数的定义结合题意直接求解即可

【详解】由题意得该样本平均数为

，

故答案为：8

15．已知，，且，则的最小值为      .

【答案】

【解析】由条件可得，则利用均值不等式可得答案.

【详解】由得，

所以当且仅当，即且时取得等号.

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

四、双空题

16．已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则=    ；的面积为          .

【答案】          /

【分析】由正弦定理边角关系得，结合三角形内角性质、三角恒等变换化简可得，即可求大小，进而求得外接圆半径，结合正弦定理可得，即可求三角形面积.

【详解】由题设，而，

所以，

则，又，可得，，故.

所以外接圆半径为，

等腰中，且，

所以，则，即，故，

又，，则的面积为.

故答案为：，

五、解答题

17．已知函数且，且的图象过点.

(1)求的解析式；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由，求得，从而可得答案；

（2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案.

【详解】（1）的图象过点，

，

又

（2）在R上单调递增

.

18．如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设.

(1)用表示;

(2)求.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据平面向量的加减的三角形法则和线性运算可得.

（2）利用数量积的运算律转化即可.

【详解】（1），

.

（2）

.

19．已知的内角的对边分别为，且的面积为.

(1)求；

(2)若为的中点，边上的高为，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】根据正弦定理对题中条件进行变化并化简，即可求得；

根据三角形面积公式可求得及的值，又，两边平方并化简即可.

【详解】（1），

由正弦定理得

则,又，

则，

，又,

.

（2）

又，，

，

又,

所以，

又因为，

所以

，

20．已知，

(1)求以及的单调减区间；

(2)若在上有唯一解，求的取值范围.

【答案】(1)；减区间为

(2)

【分析】（1）先利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简变形可求出，由可求得其单调减区间；

（2）由，得，再由求出的范围，然后由在上有唯一解，可求出的取值范围.

【详解】（1）因为

所以

由，得，

所以的单调减区间，

（2）由，得，则，

由，得，

因为在上有唯一解，

所以，得.

21．如图，在平面直角坐标系中，以为始边,顶点与原点重合，分别作角，其中，终边分别与单位圆交于两点，且.已知点坐标为.

(1)求的值；

(2)已知为实数，求函数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由任意角的三角函数的定义可得，然后由同角三角函数的关系可求出，再由，结合诱导公式可求出，从而可求出，

（2）由（1）可求出，从而可得，化简后结合二次函数的性质可求得其最大值.

【详解】（1）由题意得，因为，所以，

因为，，

所以，，

所以，

（2），

①当，即时，时，，

②当，即时，时，，

③当，即时，时，.

综上，.

22．如图，在平面四边形中，．

(1)判断的形状并证明；

(2)若，，，求四边形的对角线的最大值．

【答案】(1)直角三角形，证明见解析

(2)9

【分析】（1）首先在中，运用正弦定理，将条件中的转化为，然后通过三角函数恒等变换化简求出，即可判断的形状.

（2）首先在BC上方作Rt△BCM使，且，然后利用相似三角形求得与的长度，然后利用即可求出的最大值.

【详解】（1）已知，由正弦定理可得：，

即

得，

，，

故，即为直角三角形．

（2）如图，在BC上方作Rt△BCM使，且，

∴，

∴且

∴，由，，得，

在中，，

由，，得.

由，得，

∴，当M在AC上时等号成立，

∴．