2022-2023学年云南省文山州砚山县第三高级中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年云南省文山州砚山县第三高级中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的交集运算即可解出．

【详解】因为，，所以．

故选：A.

2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由题意可知，根据复数除法运算化简，然后可得.

【详解】

所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.

故选：D.

3．若，则“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】通过充分必要条件的定义判定即可.

【详解】若，显然；若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.

【点睛】本题主要考查充分必要条件的相关判定，难度很小.

4．若正数x，y满足，则的最小值是（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】C

【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】因为正数x，y满足，

所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为

故选：C

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.

【详解】由，分子分母同时除以，可得：

.

故选：B.

6．函数f（x）=log2x--1的零点所在的区间为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连续函数f（x）=log2x--1在（0，+∞）上单调递增且f（3）f（4）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果．

【详解】∵函数f（x）=log2x--1在定义域（0，+∞）上单调递增，

∴f（3）=log23-1-1＜0，f（4）=2--1＞0，

∴根据根的存在性定理得f（x）=log2x--1的零点所在的一个区间是（3，4），

故选C．

【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．

7．函数的图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，

且，

函数为奇函数，A选项错误；

又当时，，C选项错误；

当时，函数单调递增，故B选项错误；

故选：D.

8．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间值比较大小.

【详解】因为在R上单调递减，故，即，

因为在上单调递增，故，

因为在上单调递减，故，

故.

故选：C．

二、多选题

9．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数为

C．复数模为 D．复数在复平面内对应的点在第二象限.

【答案】CD

【分析】根据复数的运算得，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

所以复数的虚部为,复数的共轭复数为,故A，B选项错误；

复数模为,复数在复平面内对应的点在第二象限，故CD选项正确.

故选：CD

10．已知向量，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据向量的坐标运算，与共线向量的坐标关系，即可判断是否为共线向量，即可判断A，B；利用坐标运算求解向量的模长，即可判断C，D.

【详解】已知向量，，

则，所以，故，故A正确；

则，故，故B正确；

又，故C不正确，D正确.

故选：ABD.

11．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的为（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】利用空间线面关系的判定与性质定理逐项判断即可求解.

【详解】对于A，若，则或与异面，故A错误；

对于B，由，得或，不论是还是，都可结合，得到，故B正确；

对于C，若，则与相交、平行或异面，故C错误；

对于D，若则，又，所以，故D正确；

故选：BD.

12．已知函数的部分图像如图所示，则（    ）

A．

B．的图像关于点对称

C．的图像关于直线对称

D．函数为偶函数

【答案】ABC

【分析】首先根据得到，根据得到，根据得到，从而得到，再依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，，，所以.

因为，所以，，.

又因为，所以，，.

因为，所以，即，故A正确.

对选项B，令，解得，，

所以的图像关于点对称，故B正确.

对选项C，令，解得，，

所以的图像关于直线对称，故C正确.

对选项D，，

因为，定义域为，，

所以为奇函数，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．函数的定义域是          .

【答案】

【分析】根据题意列出不等式解出即可.

【详解】要使函数有意义则：

，

所以函数的定义域为，

故答案为：.

14．已知函数，那么        ．

【答案】

【分析】由分段函数解析式代入求解即可.

【详解】∵，

∴，

∴.

故答案为：.

15．如图，在中，为的中点，，若，则      .

【答案】

【分析】先用表示，再用表示，即可得到答案.

【详解】

，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查向量的分解、线性运算.

16．已知，则          

【答案】

【分析】先由和角公式得，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.

【详解】由得，即，两边同时平方得，

即，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．求解下列不等式的解集：

(1)；

(2)；

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）（2）根据一元二次不等式解法求解可得.

【详解】（1）由可得，

解方程得，

又函数的图象开口向上，

故原不等式的解集为或.

（2）解方程得，

又函数的图象开口向上，

故不等式的解集为.

18．如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．

(1)求证：平面PAC；

(2)求证：

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可得证；

（2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证.

【详解】（1）∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，

∴，

又∵平面，平面；

∴平面．

（2）∵底面，底面，

∴，

∵，，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴．

19．已知函数，且.

(1)求的值；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)求证：在区间上单调递减.

【答案】(1)

(2)函数是奇函数

(3)证明过程见解析

【分析】（1）代入法，将代入表达式即可求解的值；

（2）根据函数奇偶性的定义，将代入的表达式，根据与的关系即可得出的奇偶性；

（3）利用单调性的定义证明，任取两个自变量，将其函数值作差与0对比，进而得到单调性．

【详解】（1）由已知有，解得，

的值为1．

（2）函数的定义域为，

又，

函数是奇函数．

（3）任取，设，

则，

,

,

,

,

，且，

，，即，

，即，

在区间上单调递减．

20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角A的大小；

(2)若，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；

（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）由整理得，

，由，

；

（2），

由正弦定理得，①，

又，②，

由①②得，

.

21．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)求函数在区间的值域；

【答案】(1)最小正周期为，递增区间为，；

(2)

【分析】（1）由二倍角公式，结合辅助角公式得，再利用周期、正弦型函数单调性求结果；

（2）由的范围求的范围，进而可求出的范围，从而可求的值域.

【详解】（1），

∴函数的最小正周期为.

令，，则，，

所以单调递增区间为，.

（2）∵，则，∴，

∴，故函数在区间的值域为.

22．在棱长为1的正方体中，，分别为棱和的中点．

(1)求异面直线与所成的余弦值；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）连接，证明，确定异面直线所成的角或其补角，再借助余弦定理求解作答.

（2）求出三棱锥的高和底面积，利用锥体的体积公式计算作答.

【详解】（1）在正方体中，连接，如图，

因为，分别为棱和的中点，则，因此四边形是平行四边形，

则，即是异面直线与所成的角或其补角，

在中，，而正方体的体对角线，

由余弦定理得：，

所以异面直线与所成的余弦值为

（2）在正方体中，平面，而的面积，

所以三棱锥的体积.