2022-2023学年云南省保山市腾冲市高一下学期期中教育教学质量监测数学试题含答案

2022-2023学年云南省保山市腾冲市高一下学期期中教育教学质量监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据集合和集合交集的概念直接求解即可.

【详解】因为集合，

所以，

故选：C

2．已知复数满足，为的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算和模长公式可得答案.

【详解】因为，所以，

所以，.

故选：B.

3．已知，，则

A． B．7

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知的值，结合同角三角函数关系式可求tanα，然后根据两角差的正切公式即可求解．

【详解】

∴

则

故选C．

【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．

4．已知向量，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由向量，

若，可得，解得，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．已知点，则与向量方向相反的单位向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的坐标表示，得到，求得，结合，即可求解.

【详解】由点，可得，则

所以与向量方向相反的单位向量为.

故选：B.

6．已知表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用圆锥表面积公式及扇形弧长公式列出方程，联立求解作答.

【详解】设圆锥底面圆半径，母线长，由圆锥的表面积为，得，即，

由侧面展开图是一个圆心角为的扇形，得，即，

于是，所以圆锥的高.

故选：A

7．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法不正确的是（    ）

A．的图像关于直线对称 B．对任意都有

C．是周期函数 D．

【答案】D

【分析】由函数为上的奇函数，为偶函数，得到函数的对称中心和对称轴，进而推得函数的周期，即可判断各选项的正误．

【详解】为偶函数，有，

令，则有，

所以点在的图像，点关于直线的对称点也在的图像上，

即的图像关于直线对称，A选项正确；

对任意都有，B选项正确；

函数为上的奇函数，则有，故，

所以，可得的周期为4，

，

C选项正确，D选项错误；

故选：D

8．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且在单调递增，再由对数的运算性质，求得，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】由函数可得定义域为，

且满足，即，

所以函数为奇函数，

又由函数都是上单调递增函数，所以在单调递增，

因为且，所以，

又因为，所以，

因为在单调递增，所以.

故选：A.

二、多选题

9．已知矩形的面积为，则（    ）

A．5 B．3 C． D．

【答案】AD

【分析】设，由题意可得，从而可求出，再运用向量数量积的运算律可求得结果.

【详解】设，则

，解得，或，

所以，

所以当时，，

或当时，，

故选：AD

10．下列命题说法不正确的是（    ）

A．奇函数的图象一定过坐标原点

B．函数是偶函数

C．函数是奇函数

D．函数是奇函数

【答案】ABD

【分析】根据奇函数性质举反例可判断A；根据奇函数定义判断B，C，D.

【详解】对于A，函数为奇函数，但其图象不过原点，A错误；

对于B，函数的定义域不关于原点对称，故不是偶函数，B错误；

对于C，令，定义域为R，且，

故函数是奇函数，C正确；

对于D，令，定义域为R，

，

即函数是偶函数，D错误；

故选：ABD

11．下列说法正确的是（    ）

A．已知向量为两个非零向量，且，则与共线且反向

B．已知向量，且与共线，则实数或

C．已知向量，则

D．已知线段为单位圆的任意一条直径，以圆心为顶点，作边长为3的等边三角形，则的最大值为

【答案】BCD

【分析】对于A：根据数量积的定义和运算律分析可得，进而可得结果；对于B：根据向量共线的坐标表示运算求解；对于C：根据模长的坐标公式可得，再结合数量积的运算律分析求解；对于D：根据向量的线性运算可得，再结合数量积的运算律运算求解.

【详解】对于选项A：因为，则，

即，整理得，

且向量为两个非零向量，即，

可得，则，所以与共线且同向，故A错误；

对于选项B：因为与共线，则，

整理得，解得或，故B正确；

对于选项C：由，可知，

因为，则，

整理得，故C正确；

对于选项D：由题意可得：，

则

，

当且仅当同向时，等号成立，

所以的最大值为，故D正确；

故选：BCD.

12．已知函数,若关于的方程恰有个不相同的实根,则实数的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意,从而转化为或解的个数问题,画出函数图像,数形结合即可得到答案.

【详解】,

所以或,即或,

函数的图像如下:

由图像可知,的解的个数有个,

所以要使方程恰有个不相同的实根,

则的解的个数必须为个,

由图像可得或满足条件.

故选:BC.

三、填空题

13．在中，角所对的边分别为，若，则边的长为          .

【答案】/

【分析】由题意可得：，根据正弦定理运算求解即可.

【详解】由题意可得：，

由正弦定理，可得.

故答案为：.

14．设，且，则的最小值为          .

【答案】

【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为，，且，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

15．在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为          .

【答案】0

【分析】根据题意可证平面，进而可得结果.

【详解】连接，

因为为正方形，则，

又因为平面，平面，则，

且，平面，所以平面，

由平面，可得，

同理可证：，，平面，

可得平面，

所以直线与平面所成角为，余弦值为0.

故答案为：0.

16．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且，          .

【答案】

【分析】利用和分别共线，可得存在使得，再利用向量的四则运算解出的值即可求解.

【详解】因为为中点，所以，

因为和分别共线，

所以存在使得，，

所以

，

所以，解得，

所以，

所以，，，

故答案为：

四、解答题

17．已知平面向量.

(1)若与垂直，求的值；

(2)若向量，若与共线，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求向量与的坐标，利用向量垂直的坐标运算，求的值；           

（2）求向量与的坐标，利用向量共线的坐标运算求的值，得向量的坐标，利用公式求.

【详解】（1），则，，

由与垂直，则，

解得.

（2），

则有，

由与共线，故，即，解得，                                        

可得，

18．已知在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求角；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知变形为后结合余弦定理即可求得答案；

（2）由正弦定理求得，即可得的表达式，结合三角恒等变换化简以及正弦函数性质，即可求得答案.

【详解】（1）由，得，

即，

又由余弦定理，

∴，

由于；

（2）由（1）知，

，

由正弦定理 ，

，

，

 ，

，

的取值范围为.

19．如图，是圆柱的一条母线，过底面圆的圆心是圆上异于点的一点. 已知.

(1)求该圆柱的体积；

(2)求证：平面；

(3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据圆柱的体积公式，准确计算，即可求解；

（2）根据题意，分别证得，，结合线面垂直的判定定理，即可得证；

（3）根据旋转体的概念，结合圆锥的体积公式，即可求解.

【详解】（1）设圆柱的底面半径为，因为过底面圆的圆心，且，可得，

又由圆柱的母线长为，即圆柱的高为，

所以则圆柱的体积.

（2）因为是圆的直径，是圆上的一点，可得，

又因为平面，且平面，所以，

因为平面，且，所以平面.

（3）由线段绕旋转一周所得的几何体为以为底面半径，为高的圆锥，

线段绕旋转一周所得的几何体为以为底面半径，为高的圆锥，

所以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为：

.

20．已知向量，函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)已知分别为内角的对边，其中A为锐角，，且，求的面积S.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换化简，可得的表达式，利用正弦函数单调性，即可求得答案;

（2）利用（1）的结果求得A，由余弦定理求出b，再利用三角形面积公式即可求得答案.

【详解】（1）

，

由，

解得，

∴函数的单调递增区间为.

（2），

，，

又，即，解得或（舍去），

从而.

21．如图，在正方体中，分别为的中点.

(1)求证：平面；

(2)若正方体的棱长为4，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.

【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示，

分别为的中点，则，

且，则，

∴四边形是平行四边形，则，

 分别为的中点，则，

∴四边形是平行四边形，则，

故，且平面平面，

平面.

（2）取的中点记为，连接，

由于正方体的棱长为4，故为中点，∴，

又∵为中点，∴，

平面,平面

为二面角的平面角，

因为为正三角形，故，

在中，，

由余弦定理，

，

∴二面角的平面角的正弦值为.

22．已知函数.

(1)当时，解关于的方程；

(2)若函数是定义在上的奇函数，求函数的解析式；

(3)在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)8

【分析】（1）根据题意代入求解即可；

（2）根据奇函数的定义运算求解；

（3）根据题意整理得，令，利用换元法可得在时恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.

【详解】（1）因为，则，

整理得，解得（舍去）或，

所以.

（2）因为是奇函数，则，

整理得形得：，

要使上式对任意的成立，则，解得或 ，

又因为的定义域是，

当，则的定义域为，不合题意；

当，则的定义域为，符合题意；

所以.

（3）因为，则，

又因为且，则，可得，

可得，即，

则.

不等式恒成立，即恒成立，

令，则，

则，可得在时恒成立，

因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立，

所以，即实数的最大值为8.