2022-2023学年上海市新川中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海市新川中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．在单位圆中，圆心角为的弧长为      ．

【答案】/

【分析】直接利用弧长公式求解即可

【详解】在单位圆中，圆心角为的弧长为，

故答案为：

2．函数的最小正周期为     

【答案】

【分析】化简即得解.

【详解】解：由题得，

所以函数的最小正周期为.

故答案为：

3．设向量满足，，则      ．

【答案】5

【分析】根据数量积的运算律结合已知条件求解即可

【详解】因为，，

所以，

故答案为：5

4．已知，且，则向量在向量上的投影等于     

【答案】-4

【分析】利用向量在向量上的投影公式即可得到答案．

【详解】由于，且，

利用向量在向量上的投影，

故向量在向量上的投影等于-4

【点睛】本题考查向量投影的计算，熟练掌握投影公式是关键，属于基础题．

5．已知为锐角，若，则      .

【答案】

【分析】由条件结合诱导公式可求，再由同角关系求，结合两角和正切公式求.

【详解】因为，所以，又为锐角，所以，，所以.

故答案为：.

6．在中，已知边，角，，则边      ．

【答案】

【分析】利用正弦定理即可得解.

【详解】因为在中，，，，

所以由正弦定理得，即，解得，

所以.

故答案为：.

7．函数的定义域是            ．

【答案】

【分析】由可得答案.

【详解】，则，.

故答案为：

8．集合      ．

【答案】

【分析】由求出的取值范围，然后解方程，可得出的值，即可得解.

【详解】当时，，则，

由，可得，所以，，

因为，则或，因此，.

故答案为：.

9．设，是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数p的值为      ．

【答案】

【分析】由共线即可得．

【详解】由题意，因为三点共线，所以共线，

所以存在实数，使得，

所以，，所以．

故答案为：．

10．已知函数的图像向右平移个单位，可得到函数的图像，则 =           .

【答案】

【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定，分别说明与时，根据平移后的解析式结合，即可求得的值.

【详解】解：函数的图像向右平移个单位得到函数，即函数

又函数，

所以，则.

当时，，

则，所以，又，所以；

当时，，

则，所以，又，所以无解；

综上，.

故答案为：.

11．在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为            .

【答案】

【分析】根据在方向上的数量投影先求出,取,则,即求的最小值,过点作的垂线即可求得.

【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2,

,

,

,即,

记,

则,

若求的最小值即求的最小值,

过点作的垂线交于点,此时最小,

如图所示:

,

故答案为:

12．已知向量的夹角为锐角，且满足、，若对任意的，都有成立，则的最小值为       .

【答案】

【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得，由得出，令，得出，求不等式的解集可得结果.

详解：设向量的夹角为锐角，由，，得，∴，

即；又，由柯西不等式得 ；

令，则，化简得，

解得，所以，即的最小值为，故答案为．

点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.

二、单选题

13．若α为第四象限角，则（    ）

A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0

【答案】D

【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D.

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

【答案】D

【分析】分析可得且，利用梯形的定义判断可得出结论.

【详解】因为平面四边形满足，则且，

故四边形一定是梯形，

故选：D.

15．在中，角对边为，且，则的形状为（        ）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.

【详解】因为，

所以，即，

所以，

在中，由余弦定理：，

代入得，，即，

所以.

所以直角三角形.

故选：B

16．已知，，，，满足，，，有以下个结论：

①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；

②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.

下列说法正确的是（    ）

A．结论①、②都成立

B．结论①不成立、②成立

C．结论①成立、②不成立

D．结论①、②都不成立

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.

【详解】对于结论①，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；

对于结论②，

方法一：

∵

又∵

∴

化简得，

∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.

方法二：（特值法）

当时，，

∴，∴.

∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.

故选：B.

【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.

三、解答题

17．已知向量，的夹角为，且，，求．

【答案】

【分析】根据数量积的定义与运算律运算求解.

【详解】因为，则，

可得，

整理得，解得或（舍去），

所以.

18．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；

(1)若△ABC的面积，求B；

(2)若，求；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理，通过化简整理可求出，即可求出角的值；

（2）首先由根据正弦定理得，利用角的余弦定理得，最后联立方程组，解方程组即可求出的值.

【详解】（1）已知，化简得，

即得，又，故.

（2）已知，由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

由，得，即，

由，解得.

故得.

19．在中，，．

(1)若点D是的中点，求；

(2)若点E满足，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算可得，，进而结合数量积的运算律运算求解；

（2）根据向量的线性运算可得，进而（1）中的结果运算求解；

【详解】（1）因为点D是的中点，则，

且，

所以.

（2）因为，

可得，

所以.

20．已知函数.

(1)求的单调递增区间；

(2)在中,为角的对边，且满足，且，求的取值范围.

【答案】(1)（）；

(2).

【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数可得，然后利用正弦函数的性质即得；

（2）根据正弦定理及二倍角的余弦公式可得，再利用三角函数的性质即得.

【详解】（1）由题知

，

由（），

解得 ，

所以单调递增区间为（）；

（2）依题意，由正弦定理，，

因为在三角形中，所以，

即，

当时，，

当时，，，

∴，，

由于，所以，则，则，

又，

所以，由，

所以的取值范围是.

21．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.

(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？

(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

【答案】(1)247.4m

(2)应使得，来修建观赏步道.

【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理求出m；

（2）解法一：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案.

解法二：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，，由余弦定理得到，结合基本不等式求出，，此时，得到结论.

【详解】（1），

解得：，

因为C是钝角，所以.

由余弦定理得：

，

故需要修建247.4m的隔离防护栏；

（2）解法一：，

当且仅达时取到等号，此时m，设，，

在中，，

解得：，

故

，

因为，所以，

故当，即时，取的最大值为1，

，

当且仅当时取到等号，此时

答：修建观赏步道时应使得，.

解法二：，

当且仅达时取到等号，此时，

设，.则由余弦定理，

，

故由平均值不等式，，

从而，

等号成立当且仅当.

答：修建观赏步道时应使得，.