高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步达标检测题

3.1.1 椭圆及其标准方程

A级 必备知识基础练

1. ［探究点二］（多选题）已知在平面直角坐标系中,点,,为一动点,且,下列说法正确的是(  )

A. 当 时,点 的轨迹不存在

B. 当 时,点 的轨迹是椭圆,且焦距为3

C. 当 时,点 的轨迹是椭圆,且焦距为6

D. 当 时,点 的轨迹是以 为直径的圆

2. ［探究点一］方程化简的结果是(  )

A.  B.  C.  D.

3. ［探究点二］如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

4. ［探究点一］（多选题）已知为椭圆上一点,,为椭圆的焦点,且,若,则椭圆的标准方程可以是(  )

A.  B.  C.  D.

5. ［探究点三］已知是椭圆上一点,，是椭圆的左、右焦点,若的内切圆半径的最大值为,,则的面积的最大值为(  )

A. 2 B.  C.  D.

6. ［探究点一］中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆满足下列两个条件:①椭圆一个焦点坐标为；②椭圆经过点,则椭圆的标准方程为.

7. ［探究点一］过点,且与椭圆有相同的焦点的椭圆的标准方程为.

8. ［探究点二］已知椭圆,点与的焦点不重合.若点关于的焦点,的对称点分别为,,线段的中点在上,则.

9. ［探究点一］求适合下列条件的椭圆的标准方程:

（1） 两个焦点分别为,,经过点;

（2） 经过两点,.

B级 关键能力提升练

10. （多选题）过已知圆内一个定点作圆与已知圆相切,则圆心的轨迹可以是(  )

A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 射线

11. 已知的两个顶点分别为，，的周长为18，则点的轨迹方程为(  )

A.  B.

C.  D.

12. 如图,已知为椭圆的左焦点,为椭圆上一点,满足且,则椭圆的方程为(  )

A.  B.  C.  D.

13. 已知为椭圆上的一点,,分别为圆和圆上的点,则的最小值为(  )

A. 5 B. 7 C. 13 D. 15

14. 已知椭圆的焦点为，，点在椭圆上.若,则,的大小为.

15. 已知,是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为9,则.

16. 动圆与定圆内切，与定圆外切，点的坐标为.

（1） 求动圆的圆心的轨迹方程；

（2） 若轨迹上的两点，满足，求的值.

C级 学科素养创新练

17. 在平面直角坐标系中,已知的顶点和,顶点在椭圆上,则.

3.1.1 椭圆及其标准方程

基础落实·必备知识全过关

知识点1 椭圆的定义

过关自诊

1. （1） ×

（2） ×

（3） √

（4） ×

2. C

[解析]根据题意,得,

①当时,满足椭圆的定义,可得点的轨迹为以,为焦点的椭圆；

②当时,,点在线段上,点的轨迹为线段；

③当时,,不存在满足条件的点.

综上所述,点的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选.

知识点2 椭圆的标准方程

过关自诊

提示不一定，只需 ， 即可， ， 的大小关系不确定.

提示能.根据 与 的分母的大小来判定,哪个的分母大,焦点就在哪个轴上.

3. 4

[解析]设所求距离为.在中,,所以,所以,所以.

4. （1） 解由题意可设所求椭圆的标准方程为,且,,故椭圆的标准方程为.

（2） 由题意可设所求椭圆的标准方程为,且,把点的坐标代入,可得,故椭圆的标准方程为.

重难探究·能力素养全提升

探究点一 求椭圆的标准方程

角度1.待定系数法

【例1】 （1） 解因为椭圆的焦点在轴上,

所以设它的标准方程为.

因为,所以.

又,所以.

故所求椭圆的标准方程为.

（2） 因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.又椭圆经过点和,

所以解得

故所求椭圆的标准方程为.

（3） （方法1）①当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为.

依题意有解得

故所求椭圆的标准方程为.

②当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为.依题意有解得

因为不满足,所以无解.

综上可知,所求椭圆的标准方程为.

（方法2）设所求椭圆的方程为,依题意有解得故所求椭圆的标准方程为.

变式训练1 （1） 解由已知得,因此.

又因为,所以.

因为椭圆的焦点在轴上,所以所求椭圆的标准方程为.

（2） 因为椭圆的焦点在轴上,设它的标准方程为.

由已知得.又因为,

所以.

因为点在椭圆上,所以,即.

从而有,解得或（舍去）.

因此,从而所求椭圆的标准方程为.

角度2.定义法

【例2】 解圆和圆的圆心和半径分别为,；,.

设动圆圆心为,半径为,由题意有,,

.

由椭圆的定义可知点在以,为焦点的椭圆上,且,,.

故动圆圆心的轨迹方程为.

变式探究 解设动圆圆心为，半径为.

由圆与圆内切，得;

由圆与圆内切，得.

则.

则点轨迹是以，为焦点的椭圆,且,即,,则.

故动圆圆心的轨迹方程是.

探究点二 对椭圆标准方程的理解

 【例3】（1） B

[解析]依题意有解得或,

即实数的取值范围是.

（2）

[解析]由题意知,将椭圆方程化为,依题意有解得,

即实数的取值范围是.

变式训练2

[解析]方程化为,

依题意应有,解得或.

探究点三 椭圆中的焦点三角形问题

【例4】

[解析]如图,由,

知,,.

所以,,.所以.

设,

则.

因为 ,所以.

所以.所以.

变式训练3 （1） 解由题意知,在椭圆上,

故有,,,

的周长为,的周长为20.

（2） 如果不垂直于轴,的周长仍为20不变.理由：,和与轴是否垂直无关.

本节要点归纳

分层作业

A级 必备知识基础练

1. AC

[解析]当时,,故点的轨迹不存在,故正确；

当时,,故点的轨迹是椭圆,且焦距为,故错误,正确；

当时,,故点的轨迹为线段,故错误.

2. D

[解析] 方程表示平面内到定点,的距离的和是常数的点的轨迹, 它的轨迹是以,为焦点,长轴,焦点的椭圆,,,, 椭圆的方程是,即为化简的结果.

3. D

[解析]由题意可得,方程表示焦点在轴上的椭圆,所以,,并且,解得.故选.

4. BC

[解析]由已知,所以.

因为,所以.

所以.

故椭圆的标准方程是或.

故选.

5. A

[解析]如图,由题意可得,

,,

设的内切圆半径为,

所以.

因为的内切圆半径的最大值为,

所以.

因为,所以,可得.

又因为,由,求得,

所以的面积.

故选.

6.

[解析]由条件①可得椭圆的焦点在轴上,且,所以,①

则可设椭圆方程为,

代入点,

得,②

由①②可得,,所以椭圆的方程为.

7.

[解析]椭圆的焦点为,

设椭圆方程为,

则有,①

再代入点,得,②

由①②解得,.

则所求椭圆方程为.

8. 12

[解析]如图,取的中点,在椭圆上,

因为点关于的焦点,的对称点分别为,,

故有,,

所以.

9. （1） 解（方法1）因为椭圆的焦点在轴上,所以可设它的标准方程为.

由椭圆的定义知,所以.

又,所以.

所以椭圆的标准方程为.

（方法2）因为椭圆的焦点在轴上,

所以可设其标准方程为.

由题意得解得

所以椭圆的标准方程为.

（2） （方法1）若椭圆的焦点在轴上,

设椭圆的标准方程为.

由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为.

同理可得,焦点在轴上的椭圆不存在.

综上,所求椭圆的标准方程为.

（方法2）设椭圆的一般方程为.

将两点,代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为.

B级 关键能力提升练

10. AB

[解析]如图,设已知圆的圆心为,半径为,圆内的定点为,动圆的半径为.若点与点不重合,由于两圆相内切,则,由于,,即.

动点到两个定点,的距离和为常数.

为圆内的定点,.

动点的轨迹为椭圆.

若,重合为一点,则此时动点的轨迹为以为直径的圆.

11. A

[解析]依题意得， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其标准方程为,则，，从而.

又，，三点不共线， 点不在轴上， 点的轨迹方程为.故选.

12. C

[解析]由题意可得,设右焦点为,连接,如图,由知,,,

,

,即,

在中,由勾股定理,

得,

由椭圆的定义,得,

从而,,于是,

椭圆的方程为.

13. B

[解析]由题意知椭圆的两个焦点,分别是两圆的圆心,且,从而的最小值为.

14. 2;

[解析]由,且，知.

在中，.

故 .

15. 3

[解析]由题意得，,,,

,,.

16. （1） 解如图，设动圆的半径为.

由题意得，定圆的半径为，定圆的半径为，则，①

，②

，得.

解得,

由椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点，为的椭圆的一部分（在的内部,的外部），其轨迹方程为.

（2） 设，，则,.由可得，,所以，,由，是轨迹上的两点，得

解得

所以，.

所以，，.

C级 学科素养创新练

17.

[解析]由椭圆的方程得,,.

的顶点和,顶点在椭圆上,,

由正弦定理可知

.