高中第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆一课一练

3.1.2 椭圆的简单几何性质

A级 必备知识基础练

1. ［探究点一］（多选题）已知椭圆,则关于椭圆,下列叙述正确的是(  )

A. 椭圆 的长轴长为10

B. 椭圆 的两个焦点分别为 和

C. 椭圆 的离心率等于

D. 若过椭圆 的焦点且与长轴垂直的直线 与椭圆 交于 , ,则

2. ［探究点一］已知椭圆与椭圆有相同的长轴,椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等,则(  )

A. , B. ,

C. , 或 , D. ,

3. ［探究点三］若椭圆满足,则该椭圆的离心率(  )

A.  B.  C.  D.

4. ［探究点三］设,为椭圆的左、右焦点,椭圆上存在点, , ,使得离心率,则的取值范围为.

5. ［探究点二］已知椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆的方程为.

B级 关键能力提升练

6. [2023新高考Ⅰ]设椭圆,的离心率分别为,.若,则(  )

A.  B.  C.  D.

7. 已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根为，，则点(  )

A. 必在圆 内 B. 必在圆 上

C. 必在圆 外 D. 以上三种情况都有可能

8. 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为.

9. 如图,已知椭圆,,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆的上顶点,直线交椭圆于另一点.

（1） 若 ,求椭圆的离心率；

（2） 若椭圆的焦距为2,且,求椭圆的方程.

C级 学科素养创新练

10. （多选题）阿基米德是古希腊数学家,他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为 ,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程可以为(  )

A.  B.  C.  D.

3.1.2 椭圆的简单几何性质

基础落实·必备知识全过关

知识点 椭圆的简单几何性质

过关自诊

1. B

[解析]当椭圆的焦点在轴上时,,,故；当椭圆的焦点在轴上时,,,.故选.

2. （1） 解,,

,.

又焦点在轴上,

椭圆的标准方程为.

（2） 由题意知,焦点在轴上,,.

,

椭圆的标准方程为.

3. （1） 解由题意知,即,所以离心率.

（2） 由题意知,,所以离心率.

提示利用离心率 来刻画椭圆的扁平程度.

4. 如图所示,在中,,记,则,越大,越小,椭圆越扁；越小,越大,椭圆越接近于圆.

重难探究·能力素养全提升

探究点一 根据椭圆的标准方程研究其几何性质

【例1】 解已知方程化成标准方程为，

于是，，，

椭圆的长轴长和短轴长分别是和，离心率.

又知焦点在轴上， 两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，，和.

变式探究 解由已知得椭圆标准方程为，

于是，，

.

长轴长，短轴长，离心率.

焦点坐标，和，，

顶点坐标，，，.

变式训练1 （1） 解由椭圆可得其长半轴长为，短半轴长为，焦点坐标为，，离心率.

（2） 椭圆.

①范围：，；

②对称性：关于轴、轴、原点对称；

③顶点：长轴端点，，短轴端点，；

④离心率：.

探究点二 根据椭圆的几何性质求其标准方程

【例2】 （1） 解若焦点在轴上,则,

,.

.

椭圆的标准方程为.

若焦点在轴上,则,

,解得.

椭圆的标准方程为.

综上可知,椭圆的标准方程为或.

（2） 设椭圆的标准方程为.

如图所示,为等腰直角三角形,为斜边的中线（高）,且,,

,.故所求椭圆的标准方程为.

思路分析（1）焦点位置不确定,应分类讨论;（2）结合图形求出 , , 的值代入.

变式训练2 解若椭圆的焦点在轴上,设椭圆的标准方程为.

因为椭圆过点,所以.

因为,所以.所以方程为.

若椭圆的焦点在轴上,设椭圆的标准方程为.

因为椭圆过点,所以.因为,所以.所以方程为.

综上所述,椭圆的标准方程为或.

探究点三 求椭圆的离心率的值（或取值范围）

【例3】 解设椭圆的半长轴长为,半焦距为,依照题意可知解得,,因此离心率.

 变式训练3（1） 解依题意可得,即,

所以,从而,即,.

又因为,

所以椭圆离心率的取值范围是.

（2） 如图所示,设直线与椭圆的一个交点为,

设点横坐标为,连接,,

则.

因为为直角三角形,,

所以.

根据椭圆定义,得,

即,

所以,故.

本节要点归纳

分层作业

A级 必备知识基础练

1. ACD

[解析]由题意知椭圆的标准方程为,则,,.

长轴长为,故正确；

两焦点为,,故错误；

离心率为,故正确；

将代入椭圆方程得,

解得,,故正确.

2. D

[解析]椭圆的长轴长为10,

椭圆的短轴长为6,

由题意可知椭圆的焦点在轴上,

则,.故选.

3. B

[解析]因为,所以.故选.

4.

[解析]设,,

在中,由正弦定理有,

即,则,解得.由于,即,又成立,则有,.

5.

[解析]因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,

所以有,即.又因为椭圆上的点到椭圆的焦点的最短距离为,

所以有,而,三个等式联立得解得

所以椭圆的标准方程为.

B级 关键能力提升练

6. A

[解析]由,得,因此,而,所以.故选.

7. A

[解析]由已知，，

从而,故点在圆内.

8. 4

[解析]由题意知，当椭圆上的点为短轴端点时，三角形面积取得最大值，即.

，

当且仅当时,等号成立.

，，即椭圆长轴长的最小值为4.

9. （1） 解由 及椭圆的对称性知,

则.

（2） 由已知,,设,

则,,

由,得,

解得,,则,得,因此,所以椭圆的方程为.

C级 学科素养创新练

10. AD

[解析]由题意可知,又,解得,,,所以椭圆的标准方程为或.