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广西柳州市鹿寨县2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（A卷）
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这是一份广西柳州市鹿寨县2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（A卷），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西柳州市鹿寨县九年级第一学期开学数学试卷（A卷）
一、选择题（本题满分36分，每小题3分。在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卷上把你认为正确的答案的字母代号用2B铅笔涂黑）
1．下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
2．下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣4 B．（a2）3＝a5 C．a•a3＝a4 D．2a﹣a＝2
3．2的平方根是（ ）
A． B．﹣ C．± D．±4
4．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查
D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查
6．如图，将木条a、b与c钉在一起，∠1＝80°，∠2＝60°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
7．下列各整式中，次数为3次的单项式是（ ）
A．xy2 B．xy3 C．x+y2 D．x+y3
8．一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
10．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
11．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
12．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（ ）
A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答題卡对应的位置上，在试卷上作答无效）
13．（﹣1）×（﹣2）＝ ．
14．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 ．
15．从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF＝2，那么线段BF的长度为 ．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 ．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在试卷上作答无效）
19．解不等式组：．
20．解方程：＝+1
21．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．
22．2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．
（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由；
（2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
23．某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC＝，求BC的长．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题满分36分，每小题3分。在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卷上把你认为正确的答案的字母代号用2B铅笔涂黑）
1．下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解．
解：A、﹣1是负整数，故选项错误；
B、0是非正整数，故选项错误；
C、是分数，不是整数，错误；
D、1是正整数，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单．
2．下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣4 B．（a2）3＝a5 C．a•a3＝a4 D．2a﹣a＝2
【分析】根据＝|a|；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变分别进行分析即可．
解：A、＝4，故原题计算错误；
B、（a2）3＝a6，故原题计算错误；
C、a•a3＝a4，故原题计算正确；
D、2a﹣a＝a，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，关键是掌握各知识点，记住计算法则．
3．2的平方根是（ ）
A． B．﹣ C．± D．±4
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根是±．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有是关键．
4．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形定义进行解答即可．
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查
D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
B、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
C、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
D、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．如图，将木条a、b与c钉在一起，∠1＝80°，∠2＝60°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
解：如图．
∵∠AOC＝∠2＝60°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣60°＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
7．下列各整式中，次数为3次的单项式是（ ）
A．xy2 B．xy3 C．x+y2 D．x+y3
【分析】根据单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数对各选项分析判断即可得解．
解：A、xy2的次数是1+2＝3，故本选项正确；
B、xy3的次数是4，故本选项错误；
C、x+y2是多项式，故本选项错误；
D、x+y3是多项式，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了单项式，主要是次数的确定，熟记单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数是解题的关键．
8．一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，
所以方程无实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【分析】由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC即可．
解：∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，
∴△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝3，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE＝BC，
则BC＝2AE＝6，
故选：D．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键．
10．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【分析】一次函数y1＝kx+b落在与反比例函数y2＝图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
11．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【分析】由图可知，OA＝10，OD＝5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．
解：由图可知，OA＝10，OD＝5，
在Rt△OAD中，
∵OA＝10，OD＝5，AD＝，
∴tan∠1＝，∠1＝60°，
同理可得∠2＝60°，
∴∠AOB＝∠1+∠2＝60°+60°＝120°，
∴圆周角的度数是60°或120°．
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
12．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（ ）
A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n
【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．
解：第一个正方形的面积为1＝20，
第二个正方形的面积为（）2＝2＝21，
第三个正方形的面积为22，
…
第n个正方形的面积为2n﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，考查了学生找规律的能力，本题中找到Sn的规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答題卡对应的位置上，在试卷上作答无效）
13．（﹣1）×（﹣2）＝ 2 ．
【分析】根据有理数的乘法，即可解答．
解：（﹣1）×（﹣2）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法．
14．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 ﹣2 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接得结论．
解：∵一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两实根x1，x2，
这里a＝1，b＝2，c＝﹣m，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，x1•x2＝是解决本题的关键．
15．从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
【分析】在6个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率．
解：∵在﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中无理数有、π这2个，
∴抽到无理数的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据坐标与图形性质解答即可．
解：由题意得，OB＝6，OA＝8，
∴AB＝＝10，
则AC＝10，
∴OC＝AC﹣OA＝2，
∴点C坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
17．如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF＝2，那么线段BF的长度为 4 ．
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，那么△DEF∽△BCF，利用相似三角形对应边成比例即可求出线段BF的长度．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝，
∵点E为AD中点，
∴DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴＝，
∴BF＝2DF＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，线段中点的定义，证明出△DEF∽△BCF是解题的关键．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 或 ．
【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
解：分两种情况：
①如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，
∴∠C＝30°，AB＝AC＝，
由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，
∴∠BDN＝30°，
∴BN＝DN＝AN，
∴BN＝AB＝，
∴AN＝2BN＝，
∵∠DNB＝60°，
∴∠ANM＝∠DNM＝60°，
∴∠AMN＝60°，
∴AN＝MN＝；
②如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，
∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，
∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，
又∵AB＝，
∴AN＝2，BN＝，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°，
∴AH＝AN＝1，HN＝，
由折叠可得，∠AMN＝∠DMN＝45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM＝HN＝，
∴MN＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在试卷上作答无效）
19．解不等式组：．
【分析】分别解两个不等式得到x＞2和x≥3，然后根据同大取大确定不等式组的解集．
解：，
解①得x＞2，
解②得x≥3，
所以不等式组的解集为x≥3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
20．解方程：＝+1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：化为整式方程得：x2﹣x＝2x+4+x2+x﹣2
﹣x＝2x+4+x﹣2
4x＝﹣2
x＝﹣0.5，
经检验x＝﹣0.5是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）根据点C移到点C1（﹣2，﹣4），可知向下平移了5个单位，分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用勾股定理计算CC2，可得半径为2，根据圆的周长公式计算即可．
解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，
∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，
（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，
由勾股定理得：CC2＝＝4，
∴点C经过的路径长：×2πr＝2π．
【点评】本题考查平移变换、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．
22．2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．
（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由；
（2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）易证三角形ABC的是等腰三角形，再根据30°所对直角边是斜边的一半可求出DB的长，
（2）由（1）结合勾股定理即可求出CD的长．
解：（1）由图形可得∠BCA＝30°，
∴CB＝BA＝400米，
∴在Rt△CDB中又含30°角，得DB＝CB＝200米，
可知，BD＝AB，
（2）由勾股定理DC＝
＝，
＝200≈346米，
∴点C的垂直深度CD是346米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力．
23．某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
【分析】（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，根据总价＝单价×数量结合B型车单价是A型车单价的6倍少60元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，根据总价＝单价×数量结合投入购车的资金不超过5.86万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，
根据题意得：，
解得：．
答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆．
（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，
根据题意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，
解得：m≤20．
答：至多能购进B型车20辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC＝，求BC的长．
【分析】（1）由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD＝CE，证出四边形AECD是平行四边形，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，
∴OA＝OC，
∵CE∥AB，
∴∠DAO＝∠ECO，
在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD＝CE，
∵CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中，tan∠DAO＝，
设OD＝3x，OA＝4x，
则ED＝2OD＝6x，AC＝2OA＝8x，由题意可得：，
解得：x＝1，
∴OD＝3，
∵O，D分别是AC，AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC＝2OD＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝2∠BAD，进而判断出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD即可得出结论；
（2）先判断出∠ADB＝∠P，再判断出∠DCP＝∠ABD，即可得出结论；
（3）先求出BC，再判断出BD＝CD，利用勾股定理求出BD＝CD＝，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．
解：（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP，
（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴BD＝CD＝BC＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴，
∴CP＝16.9cm．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△ABD∽△DCP是解本题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；
（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时．
解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．
（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，
∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2.1中，四边形DQNP是矩形时，
由（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，
∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得＝，
∴OD2＝OE•OQ，
∴1＝•OQ，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2.2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年广西柳州市鹿寨县九年级第一学期开学数学试卷（A卷）
一、选择题（本题满分36分，每小题3分。在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卷上把你认为正确的答案的字母代号用2B铅笔涂黑）
1．下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
2．下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣4 B．（a2）3＝a5 C．a•a3＝a4 D．2a﹣a＝2
3．2的平方根是（ ）
A． B．﹣ C．± D．±4
4．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查
D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查
6．如图，将木条a、b与c钉在一起，∠1＝80°，∠2＝60°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
7．下列各整式中，次数为3次的单项式是（ ）
A．xy2 B．xy3 C．x+y2 D．x+y3
8．一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
10．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
11．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
12．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（ ）
A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答題卡对应的位置上，在试卷上作答无效）
13．（﹣1）×（﹣2）＝ ．
14．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 ．
15．从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF＝2，那么线段BF的长度为 ．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 ．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在试卷上作答无效）
19．解不等式组：．
20．解方程：＝+1
21．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．
22．2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．
（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由；
（2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
23．某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC＝，求BC的长．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题满分36分，每小题3分。在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卷上把你认为正确的答案的字母代号用2B铅笔涂黑）
1．下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解．
解：A、﹣1是负整数，故选项错误；
B、0是非正整数，故选项错误；
C、是分数，不是整数，错误；
D、1是正整数，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单．
2．下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣4 B．（a2）3＝a5 C．a•a3＝a4 D．2a﹣a＝2
【分析】根据＝|a|；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变分别进行分析即可．
解：A、＝4，故原题计算错误；
B、（a2）3＝a6，故原题计算错误；
C、a•a3＝a4，故原题计算正确；
D、2a﹣a＝a，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，关键是掌握各知识点，记住计算法则．
3．2的平方根是（ ）
A． B．﹣ C．± D．±4
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根是±．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有是关键．
4．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形定义进行解答即可．
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查
D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
B、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
C、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
D、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．如图，将木条a、b与c钉在一起，∠1＝80°，∠2＝60°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
解：如图．
∵∠AOC＝∠2＝60°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣60°＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
7．下列各整式中，次数为3次的单项式是（ ）
A．xy2 B．xy3 C．x+y2 D．x+y3
【分析】根据单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数对各选项分析判断即可得解．
解：A、xy2的次数是1+2＝3，故本选项正确；
B、xy3的次数是4，故本选项错误；
C、x+y2是多项式，故本选项错误；
D、x+y3是多项式，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了单项式，主要是次数的确定，熟记单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数是解题的关键．
8．一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，
所以方程无实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【分析】由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC即可．
解：∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，
∴△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝3，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE＝BC，
则BC＝2AE＝6，
故选：D．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键．
10．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【分析】一次函数y1＝kx+b落在与反比例函数y2＝图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
11．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【分析】由图可知，OA＝10，OD＝5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．
解：由图可知，OA＝10，OD＝5，
在Rt△OAD中，
∵OA＝10，OD＝5，AD＝，
∴tan∠1＝，∠1＝60°，
同理可得∠2＝60°，
∴∠AOB＝∠1+∠2＝60°+60°＝120°，
∴圆周角的度数是60°或120°．
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
12．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（ ）
A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n
【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．
解：第一个正方形的面积为1＝20，
第二个正方形的面积为（）2＝2＝21，
第三个正方形的面积为22，
…
第n个正方形的面积为2n﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，考查了学生找规律的能力，本题中找到Sn的规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答題卡对应的位置上，在试卷上作答无效）
13．（﹣1）×（﹣2）＝ 2 ．
【分析】根据有理数的乘法，即可解答．
解：（﹣1）×（﹣2）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法．
14．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 ﹣2 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接得结论．
解：∵一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两实根x1，x2，
这里a＝1，b＝2，c＝﹣m，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，x1•x2＝是解决本题的关键．
15．从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
【分析】在6个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率．
解：∵在﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中无理数有、π这2个，
∴抽到无理数的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据坐标与图形性质解答即可．
解：由题意得，OB＝6，OA＝8，
∴AB＝＝10，
则AC＝10，
∴OC＝AC﹣OA＝2，
∴点C坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
17．如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF＝2，那么线段BF的长度为 4 ．
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，那么△DEF∽△BCF，利用相似三角形对应边成比例即可求出线段BF的长度．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝，
∵点E为AD中点，
∴DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴＝，
∴BF＝2DF＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，线段中点的定义，证明出△DEF∽△BCF是解题的关键．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 或 ．
【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
解：分两种情况：
①如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，
∴∠C＝30°，AB＝AC＝，
由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，
∴∠BDN＝30°，
∴BN＝DN＝AN，
∴BN＝AB＝，
∴AN＝2BN＝，
∵∠DNB＝60°，
∴∠ANM＝∠DNM＝60°，
∴∠AMN＝60°，
∴AN＝MN＝；
②如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，
∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，
∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，
又∵AB＝，
∴AN＝2，BN＝，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°，
∴AH＝AN＝1，HN＝，
由折叠可得，∠AMN＝∠DMN＝45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM＝HN＝，
∴MN＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在试卷上作答无效）
19．解不等式组：．
【分析】分别解两个不等式得到x＞2和x≥3，然后根据同大取大确定不等式组的解集．
解：，
解①得x＞2，
解②得x≥3，
所以不等式组的解集为x≥3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
20．解方程：＝+1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：化为整式方程得：x2﹣x＝2x+4+x2+x﹣2
﹣x＝2x+4+x﹣2
4x＝﹣2
x＝﹣0.5，
经检验x＝﹣0.5是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）根据点C移到点C1（﹣2，﹣4），可知向下平移了5个单位，分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用勾股定理计算CC2，可得半径为2，根据圆的周长公式计算即可．
解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，
∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，
（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，
由勾股定理得：CC2＝＝4，
∴点C经过的路径长：×2πr＝2π．
【点评】本题考查平移变换、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．
22．2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．
（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由；
（2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）易证三角形ABC的是等腰三角形，再根据30°所对直角边是斜边的一半可求出DB的长，
（2）由（1）结合勾股定理即可求出CD的长．
解：（1）由图形可得∠BCA＝30°，
∴CB＝BA＝400米，
∴在Rt△CDB中又含30°角，得DB＝CB＝200米，
可知，BD＝AB，
（2）由勾股定理DC＝
＝，
＝200≈346米，
∴点C的垂直深度CD是346米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力．
23．某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
【分析】（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，根据总价＝单价×数量结合B型车单价是A型车单价的6倍少60元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，根据总价＝单价×数量结合投入购车的资金不超过5.86万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，
根据题意得：，
解得：．
答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆．
（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，
根据题意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，
解得：m≤20．
答：至多能购进B型车20辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC＝，求BC的长．
【分析】（1）由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD＝CE，证出四边形AECD是平行四边形，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，
∴OA＝OC，
∵CE∥AB，
∴∠DAO＝∠ECO，
在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD＝CE，
∵CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中，tan∠DAO＝，
设OD＝3x，OA＝4x，
则ED＝2OD＝6x，AC＝2OA＝8x，由题意可得：，
解得：x＝1，
∴OD＝3，
∵O，D分别是AC，AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC＝2OD＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝2∠BAD，进而判断出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD即可得出结论；
（2）先判断出∠ADB＝∠P，再判断出∠DCP＝∠ABD，即可得出结论；
（3）先求出BC，再判断出BD＝CD，利用勾股定理求出BD＝CD＝，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．
解：（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP，
（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴BD＝CD＝BC＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴，
∴CP＝16.9cm．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△ABD∽△DCP是解本题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；
（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时．
解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．
（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，
∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2.1中，四边形DQNP是矩形时，
由（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，
∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得＝，
∴OD2＝OE•OQ，
∴1＝•OQ，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2.2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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