奥数六年级上册 第5讲：方程的综合应用 课件+教案

（ 六年级 ）                                      备课教员：××× 

第五讲    方程的综合应用

一、教学目标：

1. 通过复习使学生进一步理解用字母表示数的意义和方法。

2. 根据题目中的条件寻找等量关系，用字母表示未知量并列

   出方程。

3. 解出方程及时检验，培养检验的习惯。

二、教学重点：

   根据题目中的条件寻找等量关系，并列式求解。

三、教学难点：

   分清等量关系中的已知量和未知量，并列式。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：同学们，你们还记得长方形面积的计算公式吗？

生：……

师：三角形和梯形呢？

生：……

师：在长方形面积计算上我们通常用什么字母表示呢？

生：……

师：不错，我们常常用字母简便书写，在求该未知量的时候，也通常使用简易

方程计算。同学们我们先来看下这个题，怎么用简易方程列式呢？

（出示PPT）

生：……

师：看来同学知识掌握得都不错，一般方程我们都是用设未知数，道理是一

样的，设方程是一种非常有效的解题方法，它的应用范围很广，今天我们

就来进一步了解含有分数的方程吧。

【板书课题：方程的综合应用】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（13分）

20                     -21×=4  

÷=                     25%÷-2.5=45×（+3）        

师：我们先来第一题，分数的方程中，整数、小数的运算定律同样适用。所以

    在第一题中，我们可以先进行什么运算？

生： 乘法分配律的逆运算。

师：不错，。那我们怎么求出？

生：两边同时除以前面的数。

师：不错。前面的数在以后我们会学到，我们通常叫它为系数。

板书：

     +=20

解：（1+）=20

   =20

   =16

师：在第二题中，我们需要用什么方法？请一位同学来列式计算下。

（引导学生回忆起移项，并做简单解释）

生：……

板书：

     -21×=4

解： =4+21×

     =18

       =60

师：÷=中是除数不能为0，我们通过等式的基本性质，两边同乘

就可以进行计算了。

板书：

     ÷=

解： =×

     =8

师：同学们，都知道怎么计算有分数的方程了，最后一题我们来动手试试吧。

（进行巡视，让学生对分数方程运算进一步掌握）

生……

板书：

     25%÷-2.5=45×（+3）

解： ××3-2.5=45×+45×3

              =2.5+144

     =   

练习1：（6分）

  4-6=42×                 ÷=÷×15%

分析：熟练掌握有分数的方程计算，移项、运用等式基本性质，正确快速解题。

板书：

     4-6=42×                     ÷=÷×15%

解： 4=14+6                        解：×=××15%

      =5                               =

                                           =

（二）例题2：（13分）

甲、乙两个仓库共存粮90吨，如果从甲仓中取出放入乙仓，则两仓存粮数相等。甲乙两个仓库各存粮多少千克？

师：我们设未知数通常从问题出发，我们可以设甲仓库有千克。那我们怎么列出等量关系式呢？

生：甲仓库是吨，乙仓库就是（90-）吨，所以我们可以列出等式。

   ×（1-）=90-+×

师：不错，同学们都能正确快速地找到等量关系式解题了，本题中我们还有更

快的方法吗？

师：从甲仓库取出放入乙仓，甲乙两仓库的总质量有没有发生变化呢？

生：没有。

师：不错，最后两仓库存粮数相等，实际上可以知道它们的存粮数吗？

（引导学生进一步细心分解题目中的条件，初步培养学生的发散性思维能力）

生：……

师：因为总质量没有变化，所以最后两仓库存粮数相等，都是90吨的一半45

    吨。这样就可以更加简便地列式了。

板书：

解：设甲仓库存粮吨数为吨，

     ×（1-）=90÷2

     =50

      50（吨）=50000（千克） 

     90-50=40（吨）=40000（千克）

答：甲仓库有50000千克，乙仓库有40000千克。

师：同学们，可以来验算下对不对。50的是5,50-5=40+5，完全正确。

练习2：（8分）

阿派、米德两人共有邮票300张，如果阿派把自己邮票的给米德，那么两人的邮票一样多。阿派、米德两人各有邮票多少张？

分析：正确细心地分析条件，找出等量关系式，列出方程快速求解。阿派、米

      德的邮票总数量没有变化，最后都变成了150张。

板书：

解：设阿派的邮票为张，

    ×（1-）=150

              =200

    300-200=100（张）

答：阿派有200张，米德有100张。

三、小结：（5分）

1. 计算含有分数的方程时，整数、小数方程的运算方法同样适用。
2. 通过分析题目中的条件，找出简便的等量关系式列式求解。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

师：同学们，方程可以帮助我们解决很多数学应用题，平时你们遇到最多的

是哪些类型的应用题呢？

生: ……

师：不错，在行程、工程问题上经常会碰到较为复杂多个量的应用题，我们就

需要用方程帮助我们解题，我们如何找到数量关系列式呢？

师：这节课我们进一步来了解设未知数解方程的妙用吧。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（13分）

阿派与卡尔共同清点一批图书，已知阿派清点完200本图书所用的时间与卡尔清点完300本图书所用的时间相同，且卡尔平均每分钟清点数量是阿派的倍还多5本，阿派平均每分钟清点图书的数量是多少？

师：本题要求的是阿派平均每分钟清点的图书的数量，所以我们可以设它为本，那卡尔平均每分钟清点多少本呢？

（引导学生对单位“1”的运用，正确列出卡尔清点的数量的关系式）

生：卡尔平均每分钟清点（+5）本。

师：我们已经知道阿派和卡尔的工作效率，他们的工作时间是一样的，工程量

是不一样，所以什么列出等式呢？

（引导学生回忆起工程问题公式并列出等式）

板书：

解：设阿派每分钟清点本，则卡尔每分钟清点（+5）本，

200÷=300÷（+5）

     =20

答：阿派平均每分钟清点图书20本。

师：在工程问题中，我们经常运用方程解题，特别是一些数量关系较为复杂的

    应用题，用方程可以快速理清思路，建立等量关系正确求解。

练习3：（7分）

甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水，甲管每分钟注水400千克，要想在分钟注满水池，乙管每分钟注水多少千克？

分析：把乙管每分钟注水量设为千克，根据工程公式列出等量关系式，统一单位。

板书：

解：设乙管每分钟注水为千克，

     （+400）×=8×1000

       +400=8000×

           =800

答：乙管每分钟注入水800千克。

（二）例题4：（13分）

欧拉、米德两人骑自行车同时从西镇出发去东镇，欧拉每小时行15千米，米德每小时行10千米。欧拉行30分钟后，因事用原速返回西镇，在西镇耽搁了半小时，又以原速去东镇，结果比米德晚到30分钟，试求两镇间的距离。

师：本题是我们经常接触到的什么问题？

生：行程问题。

师：不错，那同学们还记得行程问题的公式吗？

生：……

（引导学生对行程问题的复习）

师：行程问题中最常见的是哪两种问题呢？

（复习相遇问题、追及问题的公式）

师：较为复杂的行程问题我们也常常用方程的方法解决，从问题出发，我们设

两镇间的距离为千米。

师：我们先来看看米德的行驶时间，他在行驶的过程中没有休息，一直前行，

所以他行驶的时间是多少？

生：……

师：同学们都能清晰地分析出米德的行驶时间，欧拉的行驶情况比较复杂,我

们来逐一解析条件。欧拉行驶了30分钟后返回西镇，欧拉的速度不变，所

以返回他用了多少分钟？

生：30分钟。

师：不错，他又在西镇耽搁了半个小时，那么他重新出发晚出发了多少分钟呢？

生：晚出发了30+30+30=90分钟。

师：欧拉的速度是15千米/小时，米德的速度是10千米/小时，根据欧拉比米

德晚到30分钟，怎么列出等式呢？

（引导学生对行程问题的等量关系梳理列出等式）

师：速度是用千米每小时表示的，所以我们可以统一时间单位都是小时。根据

    行程问题的数量关系列出等式。

板书：

解：

   设两镇的距离为千米，

   1.5+÷15-÷10=0.5

                  =30

答：两镇距离为30千米。

练习4：（7分）

甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，甲的速度比乙的速度快，9分钟后两人在途中相遇，已知两地间距离为1980米，求甲、乙的速度。

分析：本题是相遇问题，我们可以设乙的速度为，运用单位“1”的知识，那

      么甲的速度就是米/分钟，根据相遇问题公式就可以列出等式求解

      了。

板书：

解：

   设乙的速度为米/分钟，则甲的速度为米/分钟，

   （+）×9=1980

               =100

    甲的速度为100×=120（米/分钟）

答：甲的速度为120米/分钟。乙的速度为100米/分钟。

（三）例题5（选讲）：

   欧拉过生日那天，点燃相同长度的红黄两支蜡烛，红蜡烛可以燃5小时，黄蜡烛可以燃4小时。晚上8点，两支蜡烛同时点燃，到一定时刻两只蜡烛同时熄灭，这时红蜡烛所剩部分是黄蜡烛的所剩部分的2倍，问熄灭蜡烛时是晚上几点钟？

师：阅读完本题，同学们是不是被其中的未知条件太多不知何从下手，不要急，

我们先从问题出发，可以设燃烧了小时，那么红蜡烛燃烧了多少呢？

生：……

师：我们可以来看下，一根红蜡烛燃烧5小时，那么一小时燃烧红蜡烛的多少呢？

（引导学生单位 “1”和方程的结合应用）

生：……

师：因为黄蜡烛和红蜡烛一样长，所以它们的单位“1”的量是一样的，那么黄

蜡烛1小时燃烧了单位“1”的多少呢？

生：……

师：红蜡烛和黄蜡烛是一起燃烧一起熄灭的，它们的燃烧速度不一样，但燃烧

的时间是一样的。那我们可以根据上面列出等式呢？

（引导学生对题目中的所有条件梳理，抓住关键的条件列出等式）

生：……

师：“红蜡烛所剩部分是黄蜡烛的所剩部分的2倍”这个条件中就可以列出等式。

板书：

解：

   设燃烧了小时，

   1-×=2×（1-×）

         =

   小时=3小时20分钟

   8点过后3小时20分钟是11点20分。

答：熄灭蜡烛是晚上11点20分。

练习5：

运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元，如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问：有多少千克大西瓜？

分析：假设大西瓜为千克，通过条件转换出小西瓜的数量关系，再根据第二

      个条件解出。

板书：

解：      

   设大西瓜为千克，则小西瓜的千克数为（290-0.4×）÷0.3千克，

     （0.4-0.05）+（290-0.4×）÷0.3×（0.3-0.05）=250

      0.35+（290-0.4)×=250

                           =500

答：大西瓜有500千克。

三、总结：（5分）

1. 较为复杂的工程、行程问题需理清思路和数量关系用方程解题。
2. 通过一个条件把两个未知量转换成单个未知量，再用数量关系列式求解。

四、随堂练习：

1. -3×=       -25%=10÷2.5+

解：=+         解：  -25%- =4

    =4                     （--）=4

                                        =32

2. 用一根长80m的绳子围出一个矩形，使它的宽是长的，长和宽各应是多少？

板书：

解：

   设长为米，则宽为米，

  （+）×2=80

             =30

    宽为30×=10（米）

答：长是30米，宽是10米。

3. 运送30吨煤，先用一辆载重4吨的汽车运走，剩下的用一辆载重为2.5

   吨的货车运。还要运几次才能运完？

板书：

解：

   设要运次才能运完，

   30×+2.5×=30

               =8

答：还要运8次才能运完。

4. 两地相距249千米，一列火车从甲地开往乙地，每小时行千米，行了

   多少小时离乙地还有27千米？

板书：

解：

设行了小时，

×+27=249

         =4

答：行了4小时。

5. 甲、乙两种商品，如果购买甲3件、乙7件共需27元，如果购买甲商品40

   件、乙商品50件，则可以按批发价计算，共需付189元，已知甲商品每件

   批发价比零售价低0.4元，乙商品每件批发价比零售价低0.5元。问甲、乙

   两种商品的批发价各是多少元？

板书：

解：

   设甲的批发价为元，甲的零售价为（+0.4）元，

   那么乙的零售价为[27-3×（+0.4）]÷7元，

   乙的批发价为{[27-3×（+0.4）]÷7-0.5}元，

   40+{[27-3×（+0.4）]÷7-0.5}×50=189

                                     =1.6

    乙的批发价为（189-40×）÷50==2.5（元）

答：甲的批发价为1.6元，乙的为2.5元。

家庭作业

线上作业：第5讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处