奥数六年级上册 第7讲：最优化问题 教案

（ 六年级 ）                                      备课教员：××× 

第七讲    最优化问题

一、教学目标：

1. 通过简单事例，初步体会统筹思想在实际问题中的应用。

2. 在各种方案中寻求一个最合理，最省事，最节约的方案。

二、教学重点：

1. 通过观察分析、合作探究让学生感受用不同的方法，进行有条理安排的数学统筹方式。

三、教学难点：

1. 让学生经历探索统筹策略的过程，建立统筹思想。

四、教学准备：

PPT、8根火柴棒或8枚棋子

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：同学们，你们都是6年级的学生了，平时是不是会帮助爸爸妈妈做家务呢？

生：……

师：今天，米德和卡尔也要帮助阿博士做事情。我们来看看他们要做些什么呢？

（出示PPT)

（与学生初步探讨简单的时间最优化问题）

师：这就是我们生活中最常遇见的最优化问题，在解决该类型生活问题我们需

要观察分析，有时候还需要通过列举法，一一比较，找出最优化方法。这

节课我们就来学习下吧。

【板书课题：最优化问题】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（13分）

    把78拆成2个质数之和，它们最大的积是多少？

师：同学们，还记得什么是质数吗？最小的质数是？最小的合数是？

（简单复习质数、合数等数的概念）

生：……

师：把78拆成2个质数之和有几种拆法呢，同学们动手试试。

（巡视学生的列举情况，培养学生的细心习惯及观察学生的性格特点）

生：……

师：我们可以从小到大，一一列举。（5，73）、（7，71）、（11，67）、

   （17，61）、（19，59）、（31，47）、（37，41）。

师：同学们，自己看看有没有遗漏的呢？

生：……

师：同学们，把这些组合都乘积都算出来看看，有什么发现吗？

（让学生通过自身实践努力，发现数学规律）

生：……

师：不错，两个数的和一定，两个数的差越小，它们的积越大。

板书：

     78=37+41

     37×41=1517

答：它们最大的积是1517。

练习1：（6分）

把152拆成2个质数之和，它们最大的积是多少？

分析：通过列举法，找出最接近的两个质数组合，它们最大的积就算出来了。  

板书：

     152=73+79

     73×79=5767

答：它们最大的积是5767。

（二）例题2：（13分）

   沿铁路有5个工厂A、B、C、D、E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运，现在想建一座车站，使这5个工厂的货物到车站的行程总和越小越好，车站应建在（    ）位置。  

师：同学们，如果单独从哪个工厂来说，车站建到哪个位置，它们的路程都是

不一样的，那么我们这个时候该从哪里入手呢？我们先来看看题目的要求。

使这5个工厂的货物到车站的行程总和越小越好。这句话怎么分解呢？

生：……

师：不错，那我们来看看A点和E点，它们到这个车站的行程是多少？

（引导学生发现规律，并培养学生对该类问题的解题思路）

生：……

师：是的，只要车站建在A、E两点之间任意一点，它们的行程总和是线段AE。

我们再来看看B、D两点，它们到这个车站的行程情况呢？

生：……

师：在B、D两点之间任意一点，它们的行程总和是线段BD，那在它们两边的

行程总和情况呢？

生：肯定比在B、D两点之间多。

师：不错，既然它们之和都是一定的，最后决定总行程在于离C点的建站点了。

很显然，我们要建站在哪点呢？

生：C点。

板书：

     C点。

师：在一般的行程最优化问题上，我们一般先考虑中点的情况。

练习2：（8分）

甲、乙两村相距10千米，要在两村之间建一所联合小学。甲村有60人上学，乙村有40人上学。那么学校应该建在什么地方，才能使这100名学生每天上学的总行程最短？

分析：我们可以把甲村的人数分成40人、20人两部分，相对于甲村40人、乙

      村40人来说，联合小学建立在哪个点，它们的总行程都是一样的，就看

      20人哪个点离他们最近了，很显然要建立在甲村。

板书：

     甲村。

三、小结：（5分）

1. 通过列举法，然后仔细找出规律，找到最优化方法。
2. 通过分析题意，排除不变的量，找到需要考虑的关键部分，找到最优化方法。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

师：同学们，你们知道人体中最小的单位是什么吗？

生：细胞。

师：同学们的生物知识也掌握得不错哦，我们都知道细胞会分裂。我们来看个

题目。

    有一种单细胞以一分为二的方式繁殖，每3分钟分裂一次，假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中，恰好一小时后这种细胞充满容器，假如开始时将两个这种细胞放入该容器，同样充满容器的时间是多少呢？

（出示PPT)

生：……

师：同学们，是不是觉得细胞分裂很神奇，其实在生活中也有细胞分裂的情况

    哦，我们来看看生活中的细胞分裂吧！

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（13分）

李厂长要把一个紧急通知传达给全厂的975名员工。如果用电话联系，每通知1人需1分钟。李厂长要在最短时间里完成通知，最少需要多少分钟？

师：李厂长通知一个人要一分钟，那通知2个人要多少分钟？

生：2分钟。

师：那通知3个人呢？

生：3分钟。

师：真的需要3分钟吗，同学们好好想想，有没有更快的方法呢？

（引导学生联想“细胞分裂”的情况分析）

生：……

师：不错，我们让被通知到的人也一起帮助李厂长通知，所以只要2分钟就可

以通知到3人。

师：为了找出规律，我们先来看看李厂长通知完一个人后，就变成2个人通知，

他们同时通知可以通知2人，接下来4人同时通知又可以通知4人。通过

这写，同学们发现了什么规律？

生：……

师：我们可以通过表格的形式，把规律列出来。

板书：

答：975在511~1023之间，所以至少需要10分钟。

练习3：（7分）

某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？

分析：本题也是时间的最优化问题，我们要理清题意，10小时注满水，甲、乙

      合放的时间尽可能地少，甲的注水速度比乙快，所以要让甲一直工作，

      剩余部分只能让乙注水。

板书：

    （ 1-×10）÷=4（小时）

答：甲乙两管全放最少需要4小时。

（二）例题4：（13分）

A、B两批发部分别有电视机70台与60台，甲、乙、丙三个商店分别需要电视机30台、40台和50台。从A、B两批发部每运一台电视到三个销售店的运费如表所示。如何调运才能使运费最少？（单位：元）

  甲   乙   丙

A 20   70   30

B 30  100   50

师：本题要我们求的是运费最少，我们从哪里作为突破口呢？

生：……

师：我们来看看，A、B两批发部到甲、乙、丙三个商店的差价。

生：……

师：我们发现，A、B到乙的差价是最大的，所以A要尽量供给乙，A运到乙40

台。接下来丙的差价其次，A要尽量供给丙，A还能供给丙几条？

生：70-40=30台。

师：那接下来怎么分配？

生：B给甲30台，还要给丙50-30=20台。

师：我们知道运送分配，最少的运费也就求出来了。

板书：

答：A给乙商店运40台，给丙商店运30台，B给甲商店运30台，丙商店20台。

练习4：（7分）

某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？

分析：我们可以假设甲生产a件，乙生产b件，再根据A、B、C、D的转动时间，

      通过排除法找出符合条件的各种组合，列表计算求出最大利润。

板书：

    设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最多为12小时，则有：（2a＋2b）不超过12。同理：（a＋2b）不超过8，4a不超过16，4b不超过12。

    由以上四个条件知，

当b取1时，a可取1、2、3、4；  

当b取2时，a可取1、2、3、4；  

当b取3时，a可取1、2。  

这样，就是在以上情况下，求利润200a＋300b的最大值。可列表如下：

答：每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。

（三）例题5（选讲）：

桌上放有1992根火柴。甲、乙两人轮流从中任取，每次取的根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？

师：同学们，我们来做一个小游戏。哪两位同学愿意来玩下。

（使用准备好的道具：8根火柴棒或8枚棋子）

生：……

师：游戏的规则：两个同学轮流取火柴，取得最后一根为胜，每次取1或2根。

（可以让多名同学尝试，从游戏的乐趣中发现数学的逻辑美，可以让性格沉默

  寡言的同学努力多尝试）

生：……

师：在8根火柴的游戏中，同学们是不是找到了必胜的方法呢？

生：……

师：是的，先取者有必胜把握，我们可以运用倒推法。要想保证拿到最后第8根，

我们要保证拿到第5根，要拿到第四根，我们就要拿到第2根。因为一次可

以拿1~2根，所以第一次拿的人可以直接拿2根，然后保证每次拿的根数和

例外一个人拿的根数相加是3。同学们，都明白了？我们再来看看这个题目。

生：……

师：本题中是1992根，因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。谁要抢到

第1992根，谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、…、6、

3根。谁能抢到第3根呢？

生：……

师：谁抢到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。

板书：

    乙。乙获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴时，他紧接着取一次，每次取的根数与甲取的加起来的和等于3。

练习5：

桌上放有233根火柴。甲、乙两人轮流从中任取，每次取的根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？

分析：运用倒推法，找到制胜必须取到的一根。

板书：

     甲。第一次取2根，他紧接着每次取的根数与乙取的加起来的和等于3。

三、总结：（5分）

1. 运用排除法、列表法，逐一选出符合的条件再进行比较，找出最优化方法。
2. 运用倒推法，找出关键的条件，分析研究得解。

四、随堂练习：

1. 一个长方形，它的长与宽的和是17cm，长、宽都是整数，长方形最大的面积

   是多少？

板书：

     17÷2=8.5

     8×9=72（平方厘米）

答：长方形最大的面积是72平方厘米。

2. 在一条公路上有四个工厂，任意相邻的两个工厂距离相等，每个工厂的工人

   数如图所示。现在要在这条公路上建一个车站，使得这四个工厂的所有工人

   步行到车站总路程最少，这个车站应建在几号工厂门口？

板书：

     假设两个相邻工厂的距离为a，

     若建在1位置：

     120×a+80×2a+215×3a=925a

     若建在2位置：

     100×a+80×a+215×2a=610a

     若建在3位置：

     100×2a+120×a+215×a=535a

     若建在4位置：

     100×3a+120×2a+80×a=620a

     3的位置总距离最小，选在3位置。   

3. 张老师找甲、乙、丙三名学生来办公室谈话，甲要20分钟谈完，乙要30分

   钟谈完，丙要18分钟谈完。怎么安排三人谈话顺序，使三人花的总时间最

   少？最少需要多少分钟？

板书：

     要使三人花的总时间最少，那就要使得后面等待的人时间越少。

     谈话次序是丙、甲、乙。

     18×3+20×2+30=124（分钟）

答：谈话次序是丙、甲、乙，最少需要124分钟。

4. 某衬衫专卖点经销的男士衬衫，按价格从低到高分为A/B/C/D/E/F/G/H/八个

   档次，A档次的衬衫每天可以卖120件，每件可获得利润50元，每提高一个

   档次，卖出一件可增加利润10元，但是提高一个档次，这种档次的衬衫每

   天将比低一个档次的衬衫少卖8件。（1）在八个档次的衬衫当中，卖哪个

   档次所获得的利润最大？（2）卖出这种档次的衬衫一天所获得的最大利润

   是多少？

板书：

     A档次：120×50=6000（元）

     B档次：（120-8）×（50+10）=6720（元）

     C档次：（120-8×2）×（50+10×2）=7280（元）

     D档次：（120-8×3）×（50+10×3）=7680（元）

     E档次：（120-8×4）×（50+10×4）=7920（元）

     F档次：（120-8×5）×（50+10×5）=8000（元）

     G档次：（120-8×6）×（50+10×6）=7920（元）

     H档次：（120-8×7）×（50+10×7）=7680（元）

     F档次利润最大，利润为8000元。

答：卖F档次利润最大，最大利润是8000元。

5. A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个

   数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否则A胜。问：谁能必胜？制胜

   的策略是什么？

板书：

    将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B就一定能获胜。

家庭作业

线上作业：第7讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处