（ 四年级 ）                                      备课教员：××× 

第8讲    和差倍问题

一、教学目标：

2. 掌握对应思路及转化思路，抓住不变量。

二、教学重点：

   掌握对应思路及转化思路，抓住不变量，将复杂的问题转化为一般的和倍、差倍应用题来解决。

三、教学难点：

能找到两个数的和与两个数的倍数的和的对应关系。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：在以前我们学习了和倍、和差、差倍问题，那么大家还会解决这些问题吗？

生：（自由回答）

师：现在我们来一个闯关比赛，看看哪组小伙伴掌握得最好。（按照小组合作的形式进行比赛，回答正确多的获胜，获胜的小组可以获得奖励）

1. 学校有排球、足球共50个，排球比足球多4个，排球、足球各多少个？ 

     （50+4）÷2=27（个）      27-4=23（个）

    答：排球有27个，足球有23个。

师：它的公式是什么大家还记得吗？

生：和差：（和＋差）÷2＝大数，（和—差）÷2＝小数。

师：很棒，我们一起进入下一关。

2. 小明家里共养鸡和兔36只，鸡的只数是兔的只数的3倍，问小明家养的鸡和兔各有多少只？

         36÷（3+1）=9（只）      9×3=27（只） 

     答：小明家养的鸡有27只，兔有9只。

师：这是一个什么问题，它的公式你们还记得吗？

生：和倍：和÷（倍数+1）=小数，小数×倍数＝大数，和—小数＝大数。

3. 有甲、乙两个仓库，甲仓库放化肥是乙仓库的3倍，甲仓库比乙仓库多存放520吨，甲、乙两仓库各存放化肥多少吨？

         520÷（3-1）＝260（吨）      260×3=780（吨）

答：甲仓库存放化肥780吨，乙仓库存放化肥260吨。

师：这是一个什么问题，它的公式你们还记得吗？
生：差倍：差÷（倍数-1）＝小数，小数×倍数＝大数，小数＋差＝大数。
师：我们已经学过了和倍、差倍和和差问题，那么将这三种类型题揉和成一道题，你还能迎刃而解吗？这节课我们一起来学习较复杂的和差倍问题。

（板书：和差倍问题） 

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（13分）

芭啦啦学校食堂有两袋面粉共重96千克，如果从甲袋取出12千克放入乙袋，则乙袋的质量是甲袋的3倍，两袋原来各有面粉多少千克？

【课件出示例题一。】

师：芭啦啦学校里的大厨打算包一些饺子给大家吃，他从甲袋中取了一些放入到乙袋，导致现在他不知道原来两个袋子中各有面粉多少了，大家能帮助他解决这个问题吗？

生：可以。

师：同学们，请先认真地读一读这道题，然后找一找这道题中给出的已知信息有哪些？

生：“两袋面粉共重96千克，如果从甲袋取出12千克放入乙袋，则乙袋的质量是甲袋的3倍。”

师：大家想一想，这个问题跟我们以前学习的什么比较像？

生：和倍问题。

师：没错，现在乙袋的质量是甲袋的3倍。这时候我们可以怎么办？

生：求出现在甲袋的面粉质量。

师：根据我们前面学习的和倍问题可以把甲袋面粉看作什么数？

生：将甲袋面粉的质量看作1份数，则乙袋面粉的质量是这样的3份。

师：很好，那甲袋面粉和乙袋面粉总共是这样的几份？

生：4份。

师：没错，甲袋面粉和乙袋面粉总共是4份，而他们的总质量是96千克，我们可以求出什么？

生：可以求出一份的质量。

师：求出一份的质量，也就是什么的质量？

生：现在甲袋中面粉的质量。用96÷（1＋3）=24（千克）

【课件演示画线段示意图的过程，教师要结合学生的思路，一步一引导学生，配合课件演示，加深学生理解。】

师：现在甲袋的面粉是24千克，那原来甲袋的面粉是多少呢？乙袋呢？

生1：因为从甲袋取出12千克放入乙袋，现在还回来，用24＋12=36（千克），甲袋原来有面粉36千克。

生2：乙袋原来有面粉就可以用96－36=60（千克）。

师：解答和倍应用题的关键是要找出两数的和以及对应的倍数和，从而先求出1倍数。数量关系可以这样表示: 两数和÷(倍数+1)=小数（1倍数）； 小数×倍数=大数（几倍数）；  两数和－小数=大数。

板书：

现在的甲袋中有面粉：96÷（1＋3）=24（千克）

甲袋原来有面粉：24＋12=36（千克）

乙袋原来有面粉：96－36=60（千克）

答：甲袋原来有面粉36千克，乙袋原来有面粉60千克。

师：这种题大家在暑假都已经有过了接触，现在，为了加深大家对这种题型的印象，请你们运用这个公式，来解答一下这一道题，请写在课堂练习本上，我请一位同学上台板演。

【出示练习一，请一位中等程度的学生上台板书，教师下台巡视。】   

师：根据这些我们可以画出线段图。

【课件演示画线段示意图的过程，教师要结合学生的思路，一步一步引导学生，配合课件演示，加深学生理解。】

练习1：（6分）

卡尔、米德两人共有邮票180张，如果卡尔送20张邮票给米德，那么米德的邮票张数是卡尔的2倍，卡尔、米德两人原来各有邮票多少张？

分析：

由“卡尔、米德两人共有邮票180张，如果卡尔送20张邮票给米德，那么米德的邮票张数是卡尔的2倍”可求出现在卡尔的邮票张数 180÷（2＋1）=60（张）。由此可求出卡尔原来有邮票60＋20=80（张），米德原来有邮票180－80=100（张）。

板书：

180÷（2＋1）      卡尔：60＋20=80（张）

=180÷3             米德：180－80=100（张）

=60（张）

答：卡尔原来有邮票80张，米德原来有邮票100张。

（二）例题2：（13分）

    卡尔和阿派两人都爱看漫画，卡尔的漫画书的本数比阿派少16本，而阿派漫画书的本数是卡尔的3倍少8本。卡尔和阿派一共有漫画书多少本？

师：大家都喜欢看漫画吗？

生：喜欢。

师：卡尔和阿派两人也喜欢看漫画，他们收集了好多，我们一起去看看吧。请读题，并找出有用的已知信息。

生：卡尔的漫画书的本数比阿派少16本。

师：很好，请坐。还有其他信息吗？

生：阿派漫画书的本数是卡尔的3倍少8本。

师：你感觉这道题与前面的学过的什么题一样？

生：差倍问题。

师：说一说你觉得该怎么解决这类问题？

生：当阿派借来8本之后，这时阿派漫画书本数是卡尔的3倍。

师：现在卡尔比阿派少多少本呢？

生：卡尔现在比阿派少16＋8=24（本）

师：现在怎么解决呢？

生：因为现在阿派的漫画书本数是卡尔的3倍，我们可以把卡尔的漫画书看作1份，阿派的漫画书就是这样的3份。

师：阿派的漫画书数量就比卡尔的漫画书多多少份？

生：3-1=2（份）。

师：根据这些我们可以求出什么？

生：卡尔漫画书的数量。

师：那他们俩一共的漫画书数量是多少呢？

生：根据卡尔漫画书的数量就可以求出阿派的漫画书数量。用阿派的漫画书本数加上卡尔的漫画书本数就是两人漫画书的总本数了。

师：非常好，我们一起看看是不是这样的呢？

【课件出示例题二，教师配合学生演示思路的变化过程，帮助学生理解。】

板书：

（16+8）÷（3-1）
  =24÷2
  =12（本）
  12+16=28（本）

  12+28=40（本）

答：卡尔和阿派一共有漫画书40本。

师：同学们，你学会这种题型的解题方法了吗？

生：学会了。

师：光会说可不行，我还要考考你们呢！现在请你们看看练习二，动笔写在课堂练习本上。我请两位同学上台板演。

【课件出示练习二，请两位中上的学生上台板演，并请他们讲解自己的思路，台下学生解答时，教师应多走动走动，指导不会的学生领会、理解。】

练习2：（8分）

乙班的图书本数比甲班少40本，甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本？

分析：

由“乙班的图书本数比甲班少40本，甲班的图书本数是乙班的3倍少10本”可以知道当甲班借来10本之后，乙班就比甲班少40＋10=50（本），而这时甲班的图书本数是乙班的3倍；现在知道两班的本数差与倍数关系，根据差倍公式：小数=差÷（倍数－1）可算出甲班和乙班各有图书的本数。

板书：

乙： （40＋10）÷（3－1）      甲：25×3－10=65（本）

      =50÷2

      =25（本）

答：甲班有图书65本，乙班有图书25本。

三、小结：（5分）

师：我们在这节课的学习中接触到哪些内容？

生：和倍、差倍的内容都有。

师：像这种需要通过转化而成为和倍、差倍问题的应用题叫做复杂的和差倍问题。

师：还记得我们主要是根据什么公式来求解的吗？

生：和倍：和÷（倍数+1）=小数，小数×倍数＝大数，和—小数＝大数；
    差倍：差÷（倍数-1）＝小数，小数×倍数＝大数，小数＋差＝大数。

师：真棒，只要我们熟练运用这些公式，这种问题，对我们来说就不是那么难以解决了。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

师：大家上节课学习的都比较累了，我们一起来玩一个游戏吧。

生：（自由发言）

师：游戏的名字是拍七令
人数：无限制
方法：多人参加，从1-99报数，但有人数到含有“7”的数字或“7”的倍数时，不许报数，要拍一下桌子，下一个人继续报数。如果有人报错数或拍错则罚表演节目。

师生参与。

师：大家发现没有，其实这样的游戏也是与倍数有关的，所以只要你们学习好数学。

师：游戏过后，继续我们的学习吧。

（出示PPT)

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（13分）

   甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做5道题，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。他们一共做了多少道数学题？

师：同学们，请先把这道题读懂，找出这道题中的已知信息，找一找我们可以用哪些方法把这些已知信息运用起来。

师：有谁有想法了吗？

生:条件比较多，不好理解。

师：说得很好，为了便于理解题意，我们来画图分析。

师：怎么画图呢？

生1：因为乙做的最少，所以我们把乙作为1倍数。

生2：因为“甲比乙多做5道题，丙做的是甲的2倍”所以我们可以用线段表示出甲的数量和丙的数量。

  乙：

               甲：

               丙：

师：同学们分析得很有道理，观察图，我们如何分别求出他们做的数学题呢？

生：我们可以先求出丙的一半。

师：怎么求呢？

生：丙做的是甲做的2倍，因此，20-5=15（道）是丙做的一半。

师：非常棒，这一半可以看作是谁做的题呢？

生：甲做题的道数。

师：不错，现在我们知道了甲的做题数量为15道，丙的也就应该知道了，是多少？

生：丙做了15×2=30（道）题。

师：那乙做的题是多少道呢？

生：用甲的数量15道减去甲比乙多的5道题，就可以知道乙做题的数量为10题。

师：他们一共做了多少道数学题呢？

生：用30+15+10=55（道）题。

板书：

    20-5=15（道）

    15×2=30（道）

    15-5=10（道）

    30+15+10=55（道）

答：他们一共做了55道数学题。

师：这种解题思路领会了吗？

生：领会了。

师：嗯，不，我觉得还不一定呢，所以现在请你们继续完成练习三。同时我要请一位同学上台板演，并要求会讲解，以此来考验你们，敢接受我的考验吗？

生：敢。

师：很好，那么请开始吧！

【课件出示练习题三。教师下台巡视指导学生完成。】

练习3：（7分）

    某公司1月份收入比3月份多4万元，2月份收入是1月份的2倍，比3月份多56万元。三个月总收入是多少万元？

分析：

             3月：

             1月：

             2月：

从上图可以清楚看出，1月份比3月份多4万元，2月份收入是1月份的2倍，比3月份多56万元。因此，56-4=52（万元）是2月收入的一半，也就是1月的收入。2月收入52×2=104（万元），3月收入了52-4=48（万元）。

板书：

1月份：56-4=52（万元）    3月份：52－4=48（万元）

2月份：52×2=104（万元）

三个月总收入：52＋104＋48=204（万元）

答：三个月总收入204万元。

（二）例题4：（13分）

    两个数相除，商4余5，已知被除数、除数、商与余数的和是144，被除数、除数各是多少？

师：同学们，请看下例题4。说一说，这道题，跟我们之前遇到的那些题目有哪些特别之处。

【课件展示例题四。】

生：特别之处在于没有具体的事例，直接出示被除数和除数。

师：说得非常准确。没有了具体事例，而是给了被除数和除数来直接让你计算了。这该怎么办啊？用我们之前学的方法能解答得出来吗？

生：能。/ 不能。

师：好的，先不探求能不能解的出来，我们先来试着分析一下。可以吧？

生：可以。

师：好。首先，我们知道被除数、除数、商与余数的和是144，这说明什么？

生：说明被除数加上除数再加上商和余数等于144。

师：我们在学习和倍问题的时候，就知道被除数和除数是有倍数关系的。那我们怎么让这个数变成只和被除数与除数有关系的。

生：由题意可知，被除数与除数的和为144－4－5=135。

师：那既然说到了这两个数有倍数关系，那我们知道它们俩是几倍关系吗？

生：4倍。

师：你是怎么知道的？

生：因为两数的商是4。

师：哦，这两个数的商是4，但还有一个余数5，这应该怎么办呢？

生：用被除数与除数的和135减去5后，被除数就是除数的4倍。

师：真棒！那么，我们现在能计算这道题了吗？

生：可以。

师：怎么算？

生：先用130除以5就可以得到除数了。

师：为什么？

生：因为商是4，所以被除数和除数减去余数后剩下的数就一共有5份除数了。

师：没错，因为商是4，这就说明了我们有一份除数，却有4份跟除数一样的被除数，这样的话，总共就有了5份除数了。然后呢？

生：然后，再用130除以5的商，乘4就可以得到被除数了。

师：确定吗?

生：还要加上余数，才能得到被除数。

师：非常好，我们要记得还要加上余数。其他同学听明白了吗？

生：听明白了。

师：很好，你们真是太厉害了，那现在就根据你们自己的算法来计算一下这道题吧。

【教师根据学生的讲解，演示课件中的线段示意图，待学生理解透彻之后让学生自行解答，教师下台巡视。最后运用课件演示解题过程。】

师：同学们，你学会这种题型的解题方法了吗？

生：学会了。

师：光会说可不行，我还要考考你们呢！现在请你们看看练习四，动笔写在课堂练习本上。我请两位同学上台板演。

【课件出示练习四，请两位中上的学生上台板演，并请他们讲解自己的思路，台下学生解答时，教师应多走动走动，指导不会的学生领会、理解。】

板书：

   144－4－5=135

   （135-5）÷（4＋1）=26

   26×4+5=109

答：被除数是109，除数是26。

练习4：（7分）

 两数相除，商4余8，被除数、除数、商与余数相加的和是645，被除数和除数各是多少？

分析：

    由题意可知，被除数与除数的和为645－4－8=633。而被除数是除数的4倍多8，即被除数减去8后，被除数就是除数的4倍；把除数看作1份，633－8=625就是这样的4＋1=5（份）。据此解题。

板书：

645－4－8=633      （633－8）÷（4＋1）      125×4＋8

                    =625÷5                 =500＋8

                    =125                    =508

答：被除数是508，除数是125。

（三）例题5（选讲）：

    芭啦啦学校小超市里有94袋方便面，138袋薯片，每天卖掉方便面和薯片各9袋，几天后剩下的薯片是方便面的3倍？ 

师：我想很多的学校里面都应该有一个小超市吧，这不最近欧拉就发现了小超市里的一道很有意思的数学题，我们一起去看看吧。（出示例题五）

师：认真审题，并找出有用的已知信息。

生1：已知超市里有94袋方便面，138袋薯片。

师：很好，请坐。还有其他信息吗？

生2：还知道每天卖掉方便面和薯片各9袋，几天后剩下的薯片是方便面的3倍？ 

师：说得真棒！请坐。同学们，找出了已知的信息之后，你们觉得这道题复杂吗？

生：复杂。

师：嗯，我也觉得很复杂。那它复杂在哪儿呢？

生：复杂在不知道到底什么时候剩下的薯片是方便面的3倍。

师：嗯，概括得很完整。我们想一想，每天卖掉的方便面和薯片数量相等，方便面和薯片的数量差会不会变？

生：因为每天卖掉的方便面和薯片数量相等，所以不论经过多少天，方便面和薯片的数量差都不会变。

师：那数量差是多少？

生：是：138-94=44（袋）。  

师：薯片和方便面一直是相差44袋，我们这样想，当经过几天后，剩下的薯片是方便面的3倍。这时你们会解决吗？

生：会。

师：怎么解决呢？

生：把几天后剩下的方便面袋数看作1份，薯片袋数就是这样的3份。

师：然后呢？

生：薯片比方便面多2份，用薯片比方便面多的袋数除以多的2份，就可以求出几天后剩下的方便面袋数。

师：非常棒，那几天后剩下的薯片是方便面的3倍？怎么求呢？

生：用卖掉的方便面总量除以每天卖出的方便面数量，可以得出所求的天数。

师：那到底是多少呢？现在，请你们动手算一算，顺便运用我们已学的知识来完整地解答这一道题吧。

【学生试着求解例题五，教师下台巡视。适时指导。】

【教师下台巡视，指导未理解透彻的学生，然后课件演示计算过程，与学生核对结果。】

板书：

    138-94=44（袋）

    44÷（3-1）=22（袋） 

   （94-22）÷9=8（天）   

答：8天后剩下的薯片是方便面的3倍。

师：看来这种题，你们还是不太熟悉，所以现在需要你们继续练一练这种题型了。请看练习五，我请一位同学上台板演。其他同学解答在课堂作业本上。

【课件出示练习五，请学生先自行解答，教师请学生上台板演。最后再讲解。】

练习5：

    食堂里有156千克面粉，300千克大米，每天用掉面粉和大米各12千克，几天后剩下的大米是面粉的4倍？

分析：

    因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：300-156=144（千克）。我们把几天后剩下的面粉质量看作1份，大米质量就是这样的4份，则几天后剩下面粉：144÷（4-1）=48（千克）。 用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（156-48）÷12=9（天）。    

板书：

300-156=144（千克）

144÷（4-1）=48（千克）

（156-48）÷12=9（天）

答：9天后剩下的大米是面粉的4倍。

三、总结：（5分）

   解决和差与和差倍问题的关键是找到数量所对应的份数，若数量与份数不能对应，就需要做适当的调整，多去少补转化数量，然后再利用对应思路求一倍量。

四、随堂练习：

1. 有两袋玉米共重60千克，如果将小袋的玉米放入大袋4千克，这时大

   袋的玉米重量是小袋的3倍。求两袋玉米原来各重多少千克？

60÷（3＋1）=15（千克） 

   15＋4=19（千克）    

  60－19=41（千克）

答：大袋原来重41千克，小袋原来重19千克。

2. 甲比乙的图书少20本，乙的图书本数是甲的3倍少16本，他们两人各有图

   书多少本？

 甲： （20＋16）÷（3－1)=18（本）       18＋20=38（本）

答：甲原来有18本图书，乙原来有图书38本。

3.    米德、卡尔和阿尔法三人做数学题，米德比卡尔多做6题，阿尔法做的是米

   德的2倍，比卡尔多22题。他们三人一共做了多少题？

    （22－6）÷（2－1）      16－6=10（道）    16×2=32（道）

     =16÷1                16＋10＋32=58（道）

     =16（道）

答：他们三人一共做了58道题。

4.    两个数相除商4余1，被除数、除数、商、余数的和是156，求被除数和除

   数各是多少？

   156-4-1-1=150

   150÷（4+1）=30

   30×4+1=121

答：被除数是121，除数是30。

5. 芭啦啦学校里有96盒粉笔，312盒白板笔，每天用掉粉笔和白板笔各15盒， 

   几天后剩下的白板笔是粉笔的7倍？ 

     312-96=216（盒）

     216÷（7-1）=36（盒）

     （96-36）÷15=4（天）

答：4天后剩下的白板笔是粉笔的7倍。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处