四川省自贡市第一中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

自贡一中高2025届高二上学期开学考试

数学试题

卷Ⅰ（选择题共60分）

一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一项是符合要求的）

1. 若复数z满足，则（    ）

A 1 B. 5 C. 7 D. 25

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．

【详解】由题意有，故．

故选：B．

2.

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案.

【详解】根据特殊角的三角函数值，可知.故选D.

【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从到内特殊角的三角函数值需要熟练记忆.

3. 若点，，三点共线，则（    ）

A. 2 B. 4 C. 3 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】

三点共线，即，利用平面向量共线的坐标表示列方程解出．

【详解】点，，三点共线，则

，，解得

故选：D

4. 下列一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的30%分位数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 2.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据分位数的概念和计算方法，可得答案.

【详解】这组数据共有10个，，即分位数是.

故选：D.

5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.

6. 中，，时，则下列叙述错误的是（    ）

A. 的外接圆的直径为4

B. 若，则满足条件的有且只有1个

C. 若满足条件的有且只有个，则

D. 若满足条件的有两个，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理逐项判断.

【详解】A. 因为，所以的外接圆的直径为4，故正确；

B. 因为，所以，则，所以满足条件的有且只有1个，故正确；

C. 因为，当时，AB=AC=2，为等腰三角形，当时，AC=4，为直角三角形，此时满足条件有且只有个，故错误；

D.若满足条件的有两个，则，即，故正确；

故选：C

7. 已知中，，将绕所在直线旋转一周，形成几何体,则几何体的表面积为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先确定旋转体为两个圆锥构成的组合体，则所求表面积为两个圆锥的侧面积之和，求出侧面积即可得到结果.

【详解】由题意可知，所得几何体为以边的高为底面圆半径，AB，AC为母线的两个圆锥构成的组合体，可得底面圆半径为：，母线长为：

几何体表面积为：

本题正确选项：

【点睛】本题考查旋转体侧面积的相关求解问题，关键是能明确旋转后所得的几何体.

8. 已知函数，若，，则函数的单调递减区间为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由得周期，从而求得，再由求得得函数解析式，然后结合正弦函数的单调区间求解．

【详解】∵，∴函数的最小正周期为，即在，解得，又，即，又，故解得，∴，

令，解得，

故选：A．

二､多选题（每小题5分，共20分.漏选得2分，多选或错选不得分）

9. 盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（    ）

A. A与B互为对立事件 B. A与C相互独立

C. C与D互斥 D. B与C相互独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据对立事件，互斥事件的定义可判断AC；根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断BD.

【详解】对于A，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与B互为对立事件，故A正确；

对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C与D可能同时发生，故C错误；

对于BD，，，， ，

所以，

所以A与C相互独立，B与C相互独立，故BD正确；

故选：ABD

10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（    ）

A.  B. 与的夹角为

C.  D. 在上的投影向量为

【答案】BC

【解析】

【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.

【详解】，,

,解得,故A错误

,，

由于，与的夹角为，故B正确,

,故C正确

在上投影向量为，故D错误,

故选：BC

11. 某位同学记录了100次上学所用时间（单位：分钟），得到如图的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 上学所用时间平均数的估计值小于14

C. 上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.17

D. 上学所用时间的众数和中位数的估计值相等

【答案】BD

【解析】

【分析】由频率之和为1，可得，频率分布直方图中众数为最高的小矩形的中间值，平均数为每一组中间值与小矩形面积乘积的和；中位数左侧和右侧的小矩形面积均为0.5.

【详解】对于A，由频率之和为1有，故A不正确；

对于B，平均数：，故B正确；

对于C，上学所用时间超过15分钟的频率为，故C不正确；

对于D，由频率分布直方图可知，众数为14，设中位数为，则

，故D正确.

故选：BD

12. 已知函数，则下列结论中正确的有（    ）

A. 函数解析式化简后为：

B. 的对称轴为，

C. 的对称中心为，

D. 的单调递增区间为，

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意利用三角恒等变换化简得，再结合三角函数性质逐项分析判断.

【详解】因为，

故A正确；

令，解得，，

所以的对称轴为，，故B正确；

令，解得，，

所以的对称中心为，，故C错误；

令，解得，，

所以的单调递增区间为，，故D正确；

故选：ABD.

卷Ⅱ（非选择题共90分）

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若，则值为__________.

【答案】7

【解析】

【分析】由两角和的正切公式计算.

【详解】，则.

故答案为：7

14. 已知向量．若，则______________．

【答案】##

【解析】

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

15. 已知在一个长、宽、高、分别为3 cm，4 cm，6 cm的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的小钢球，则每个小钢球的最大体积为______．（不计铁盒各侧面的厚度）

【答案】

【解析】

【分析】根据题意知，当两个钢球并排放置时，半径最大，此时每个钢球的直径为，再集合球的体积公式，即可求得结果.

【详解】由题意知，每个小钢球的最大半径为，

所以每个小钢球的最大体积为

故答案为:.

16. 已知中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，，，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理化角为边后，结合已知可求得，利用三角形面积公式可得，这样由正弦定理可把用表示，用表示，代入求值式可得结论．

【详解】∵，∴由正弦定理得，又，则，则，

又，∴，

由正弦定理得，，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式，掌握正弦定理的边角互化是解题基础．

四､解答题：（本大题共6小题70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17. 已知的夹角为，，当实数为何值时，

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据共线向量定理，建立方程组，可解得结果.

（2）根据向量垂直，数量积为0，解得结果.

【小问1详解】

若，得，即，

即解得，．

【小问2详解】

若，则，

即，得，

，

解得．

18. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.

（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；

（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.

【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.

【解析】

【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；

（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.

【详解】解：（1）由题意得众数为75，

的频率为，

的频率为，

设中位数为a，，.

（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，

从抽取的人数：.

19. 在中，三个内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且.

（1）求B；

（2）若，三角形的面积，求b.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理，结合已知条件即可求解；

（2）利用三角形面积公式可得，然后结合和即可求解.

【小问1详解】

在中，由余弦定理可得，

又，所以，

又因为，故.

【小问2详解】

由可得，

又因为，，

所以，

所以.

20. 某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）

（1）求走私船的速度大小；

（2）缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．

【答案】（1）n mile/h   

（2）缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理即可求解；

（2）设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，利用余弦定理即可求解．

【小问1详解】

点位于哨所北偏东方向n mile处，

点位于哨所北偏西方向n mile处，

，

，

n mile/h，

走私船的速度大小为n mile/h.

【小问2详解】

设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为，

，

，

，，

走私船速度n mile/h，缉私船速度为n mile/h，

，

在中，根据余弦定理，，

，

化简得，(舍去)，或，

此时，，

缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．

21. 已知函数.

（1）求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）最大值为2，最小值为.   

（2）

【解析】

【分析】（1）由二倍角公式、两角和的正弦展开式得，再利用正弦函数的单调性与范围可得答案；

（2）由得，利用平方关系得到，再利用展开可得答案.

【小问1详解】

由得，因为，则，故当时，取最大值2；当时，取最小值；

所以函数在区间上的最大值为2，最小值为.

【小问2详解】

由（1）可知，

又因为，所以，

由，得，

从而，

所以

.

22. 已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角所对的边分别为，且，，若角满足，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用最小正周期可求得；利用对称轴可求得，结合诱导公式可得；

（2）利用可求得，由已知等式和正弦定理可得，，将化为，根据的范围，结合正弦型函数值域的求解方法可求得的取值范围.

【小问1详解】

最小正周期，解得：；

是的一条对称轴，，

解得：，又，，

.

【小问2详解】

由（1）知：，又，，

，解得：，，，

由得：，即；

由正弦定理可得：，，

；

，，，，

则，