浙江省绍兴市稽山中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

这是一份浙江省绍兴市稽山中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年第二学期高一期中教学质量调测试卷高一数学一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1. 设，则复数的虚部为（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据复数虚部的定义进行求解即可.【详解】复数的虚部为，故选：A2. 若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（    ）A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与平行的直线C. 内所有直线与异面 D. 内所有直线与相交【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系逐一分析即可.【详解】若内存在一条直线与平行，则由和线面平行判定定理可知，与已知矛盾，故内不存在直线与平行，A错误，B正确；记，当内直线a过点A，则与a相交，C错误；当内直线b不过点A，则与b异面，D错误.故选：B  3. 在△ABC中，已知，，，则角为（    ）A. 60° B. 30°或150 C. 60°或120° D. 120°【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得，得或120°，然后由边角关系，作出判断即可.【详解】解：由正弦定理或,，或均符合.故选:C．4. 已知向量，，则（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出，求模即可.【详解】∵，，∴，∴.故选：C.5. 已知，则（    ）A.  B.  C. -3 D. 3【答案】A【解析】【分析】将看成，利用两角和的正切公式可求的值.【详解】 ，故选：A.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.6. 已知函数，则方程的根的个数是（    ）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，结合正弦型函数的性质，运用数形结合思想进行判断即可.【详解】当时，，当时，，当时，，根据函数的解析式特征，可知，由，所以函数在同一直角坐标系内的图象如下图：方程的根的个数就是这两个函数图象交点的个数，通过图象可以判断只有8个交点，故选：B  7. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A 
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.8. 已知向量，对任意的，恒有，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由可得，又，令则上式等价于，对任意的恒成立，故，解得，解得，即；对A：由，故不成立，A错误；对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；对C：，故，C正确；对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的或不选的得0分）9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（    ）A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C.  D. 为纯虚数【答案】BD【解析】【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项.【详解】对A，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第二象限，故A错误；对B，根据复数模的公式，，故B正确；对C，，而，故C错误；对D，，，故D正确.故选：BD.10. 设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ）A. 若，则B. 若，则为钝角三角形C. 若，则符合条件的有两个D. 若，则为等腰三角形或直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦定理、余弦定理逐一判断即可.【详解】A：由正弦定理可知：，因为，所以，因此本选项正确；B：根据余弦定理由，因为，所以有，因此该三角形是钝角三角形，所以本选项正确；C：由正弦定理可知：，所以不存在这样的三角形，因此本选项不正确；D：，或，当时，可得，此时该三角形是等腰三角形；当时，可得，此时该三角形是直角三角形，故选：ABD11. 已知函数则下列说法正确的是（    ）A. ，使成立 B. 的图象关于原点对称C. 若，则 D. 对有成立【答案】ACD【解析】【分析】利用特值可判断A，利用正弦型函数的对称性可判断B，利用正弦型函数的单调性可判断C，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数，∴，即，故，，故A正确；又，其图象关于点对称，故B错误；当时，，所以函数在上单调递增，故C正确；因为 ，所以，故，，又，即，所以对有成立，故D正确.故选：ACD.12. 已知四边形是边长为1的菱形，，动点在菱形内部及边界上运动，设，则下列说法正确的是（    ）A. B. 的最大值为2C. D. 当时，点的轨迹长度是【答案】ABD【解析】【分析】根据数量积的几何意义结合图形分析可判断A；由向量加法的平行四边形法则观察可判断B；取特例可排除C；利用共线定理的推论判断点P的轨迹，然后由余弦定理求解可判断D.【详解】根据数量积的几何意义可知，当点P与B重合时，向量在的投影数量最大，当点P与点D重合时，向量在的投影数量最小，所以，，即，A正确；以AP为对角线，AB，AD所在直线为邻边作，易知，当点P与C重合时，同时取得最大值，此时取得最大值2，B正确；当点P与点D重合时，，C错误；记AB的中点为E，F为AD上靠近点A的四等分点，则，所以，因为，即，所以P，E，F共线，所以点P的轨迹为线段EF，所以，D正确.故选：ABD  三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为______．  【答案】8【解析】【分析】根据斜二测画法还原平面图，利用勾股定理求边长，然后可得.【详解】因为为边长为1的正方形，所以，还原平面图如图，中，，所以，所以的周长为.故答案为：8  14. 已知直线和平面.给出下列三个论断：①∥；②∥；③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.【答案】若，则【解析】【分析】分三种情况判断：①②作条件，③作结论；①③作条件，②作结论；②③作条件，①作结论.只要以上三个命题为真即可.【详解】解：将①②作条件，③作结论：若∥，∥，则.此命题为假命题（结论应为或∥）；将①③作条件，②作结论：若∥，，则∥.此命题为假命题（结论应为与相交或∥）；将②③作条件，①作结论：若∥， ，则∥.由两平面平行的性质定理可知此命题为真命题.故答案为：若∥， ，则∥.15. 公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则___________.【答案】【解析】【分析】根据，，求得，代入求解.【详解】因为，，所以，，所以，，故答案：16. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为__________．【答案】-6.【解析】【详解】分析：可建立坐标系，用平面向量的坐标运算解题．详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，∴，易知当时，取得最小值.故答案为－6．点睛：求最值问题，一般要建立一个函数关系式，化几何最值问题为函数最值，本题通过建立平面直角坐标系，把向量的数量积用点的坐标表示出来后，再用配方法得出最小值，根据表达式的几何意义也能求得最大值．四、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 已知．（1）求与的夹角；（2）若在方向上的投影向量为，求的值．【答案】（1）    （2）10【解析】【分析】（1）根据数量积的运算和性质计算可得；（2）先求投影向量，然后利用数量积有关性质计算即可.【小问1详解】，，即，，，.【小问2详解】，.18. 已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）2    （2）【解析】【分析】（1）利用周期公式即可得到结果；（2）利用恒等变换公式化简公式，借助正弦型函数的性质得到结果.【小问1详解】∵，∴，∴，故函数的最小正周期为2；【小问2详解】∵，∴，∴，即，故的取值范围是19. 如图，已知在长方体中，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）计算出，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）因为四边形为矩形，且，则为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面；（2）因为，，且为的中点，所以，，在长方体中，平面，因此，.【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.20. 设的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（1）若，，求的面积；（2）若，求角的大小．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示列式，再用正弦定理求出角A，利用余弦定理、面积定理计算作答.（2）用角C表示角B，再利用差角的正弦公式化简计算作答.【小问1详解】因为向量与，，则，在中，由正弦定理得：，而，即，则有，即，又，解得，当，时，由余弦定理得：，即有，而，解得，所以的面积.【小问2详解】由（1）知，，由得：，则有，即，整理得，而，解得，所以21. 在中，为的中点，为的中点，过点作一条直线分别交线段，于点，．  （1）若，，，，求；（2）求与面积之比最小值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先根据题意求得，再结合数量积的运算律即可求解；（2）先设，再根据题意求得，再根据平面向量基本定理，基本不等式和三角形的面积公式求解即可．【小问1详解】依题意可得，，又，则，所以，所以，所以，故．【小问2详解】设，由为的中点，为的中点，则，又三点共线，则，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，即．22. 如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．  （1）若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值；（2）若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离．【答案】（1），    （2）20【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将分别用表示，再利用基本不等式求的最小值；（2）先由化简得到，再根据三角形面积公式列方程得到与的函数关系，由函数单调性求得的最大值.【小问1详解】设，在中，在中，由正弦定理得当且仅当，即时取到等号到市中心的距离和最小时，．【小问2详解】，，即，又即当时，