重庆市第八中学校2022-2023学年高二数学下学期7月期末调研试题（Word版附解析）

重庆市第八中学2022—2023学年下期高2024届7月调研考试

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先解对数不等式化简集合，再利用集合补集的定义求解.

【详解】由题意可得，则．

故选：B

2. 设复数满足，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法性质求解即可.

【详解】.

故选：D

3. 已知，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式直接计算可得.

【详解】因为，

所以.

故选：B

4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用正态分布的性质即可求得的值.

【详解】随机变量服从正态分布，若，则

故选：B

5. 漳州某校为加强校园安全管理，欲安排12名教师志愿者（含甲、乙、丙三名教师志愿者）在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排4名，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据分组分配计数原理计算.

【详解】将12个人平均分为3组，有 种方法，

将甲乙丙分在同一组有种方法，

所以甲乙丙在同一校门的概率；

故选：D.

6. 已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

【答案】C

【解析】

【分析】设切点坐标，利用导数求两曲线的切线，当切线方程相同时，求切点坐标解的个数.

【详解】函数的图像关于原点对称，则有，

即，解得，所以，

由，所以在点处的切线方程为，整理得．

设，直线l与的图像相切于点，因为，

所以切线方程为，整理得，则（*），

整理得，

当时，，方程有两个非零实数根，

也满足方程，故有3个解，

所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．

故选：C

7. 已知，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】可得出，根据条件得出，设，则，从而得出，，然后根据函数的单调性可得出y的取值范围，进而得出的取值范围．

【详解】，

∵，

∴，所以，

设，则，

则，，

由双钩函数的性质可得∵在单调递减，在上单调递增，

∴，时，；m＝2时，，

∴的取值范围为：．

故选：B．

8. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，然后可比较P，M；构造函数，利用导数讨论其在上的单调性，令，结合和可证.

【详解】由，

构造函数，则.

由可知：当时，单调递增，

当时，单调递减，当时，取得最大值.

由在单调递增可知：，即.

由在单调递减区间，令有两个解，且，

则，可得①，得②，

令，则，当时在上单调递增，

当时，，即时，.

若，即，结合①②，得，则有.

又当时，，故，由在单调递减知：

，即.

故.

故选：C.

【点睛】本题有两个难点，一是对M，N，P同构后，构造函数；二是构造函数寻找方程两根的关系，利用其关系比较.

二、多项选择题（本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）

9. 下列说法中正确的是（    ）

A. 若两个变量具有线性相关关系，则经验回归直线至少过一个样本点；

B. 在经验回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量平均减少0.85个单位；

C. 若某商品的销售量（件）关于销售价格（元/件）的经验回归方程为，则当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件.

D. 线性经验回归方程一定过样本中心.

【答案】BD

【解析】

【分析】经验回归直线一定过样本中心点，但可能不过何一个样本点，判断AD；根据经验回归方程中的意义判断B选项；根据验回归方程的意义判断C选项.

【详解】A选项，两个变量具有线性相关关系，则经验回归直线可能不过任何一个样本点，故A错误；

B选项，对于经验回归方程，当时，当解释变量每增加一个单位时，

响应变量平均增加个单位；当时，当解释变量每增加一个单位时，响应变量平均减少个单位；故B正确.

C选项，当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件，但预测值与真实值未必相同，故错误；

D选项，由最小二乘法可知，线性经验回归方程必过样本中心，故D正确.

故选：BD

10. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（    ）．

A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法

B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法

C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法

D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况.

【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，

共有种排法，故A错误；

对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，

若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确；

对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C正确；

对D：5人站成一排，有种排法，

则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法；

甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法；

甲在最左端，乙在最右端，共有种排法；

则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确.

故选：BCD.

11. 若方程恰有一个实数根，则实数a的值为（    ）

A. e B. －e C. 1 D. －1

【答案】BCD

【解析】

【分析】把方程问题转化为函数与直线有一个交点，利用导数研究函数图象，数形结合即可求解.

【详解】令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，当时，，

当x趋向正无穷大时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示：

由题意，方程恰有一个实数根，

即函数的图象与直线的图象有一个公共点，

易知点为函数的图象与直线的公共点，

又曲线在点处的切线方程为，所以，

显然也成立，故实数a的值为或，

故选：BCD

12. 已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数在上单调递减

B. 若函数在内满足恒成立，则

C. 存在实数，使得的图象与直线有7个交点

D. 已知方程的解为，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，画出函数图象，数形结合得到函数单调性；B选项，计算出，数形结合得到；C选项，联立方程，计算出特殊位置时的值，数形结合得到的取值范围；D选项，首先分析出方程的解为4个时，，不妨设，根据对称性可得，数形结合得到.

【详解】因为，所以函数为奇函数，

函数的图象如图所示，

对于选项A，函数在上不单调，故A错误；

对于选项B，，结合图象可知，故B正确：

对于选项C，令，即，

由，解得或，

将代入中，得到，

分析可得，当时，的图象与直线有7个交点，故C正确；

对于选项D，当方程的解为4个时，，不妨设，根据对称性可得.

分析图象可知，当时，方程的解为3个，，

又因为，，所以，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知关于的方程有两个异号实数根，，则是的________条件．

【答案】必要不充分

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义判断可得答案.

【详解】若关于方程有两个异号实数根，则，得，推不出，

若，则可以推出，则，，，则关于的方程有两个异号实数根，

所以是的必要不充分条件．

故答案为：必要不充分

14. 用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.

【详解】因为线性回归方程为恒过，

因为，所以，，

即，

所以，即.

故答案为：

15. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______.

【答案】##

【解析】

【分析】写出所有的样本空间以及满足题意得情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.

【详解】这5名棋手分别记:甲,乙,,,,

则样本空间(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),

(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)

共含有10个样本点，

设事件表示“甲和乙分在不同小组”,则,

所以甲和乙分在不同小组的概率为.

故答案为：.

16. 已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】求导得到导函数，构造，确定，排除的情况，确定函数的单调性，确定，，，根据零点存在定理得到答案.

【详解】，，，

设，，

当时，恒成立，即恒成立，单调递增，不满足；

故，即或，

当时，在上恒成立，

单调递增，不满足，故，

现证明时满足条件：

设方程的两个解为，，不妨取，，，

当和时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

，故，，

当趋近时，趋近，当趋近时，趋近，

故在和上分别有一个零点，满足条件.

综上所述：实数m的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据的大小分类讨论的取值范围是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要灵活掌握.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 设集合,

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）;   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据并集的定义运算即得；

（2）由题可得，分类讨论进而可得不等式即得.

【小问1详解】

当时，，；

【小问2详解】

，

当时，满足题意，此时，解得；

当时，解得，

实数m的取值范围为.

18. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调减区间和极小值.

【答案】（1）；   

（2）单调减区间为，极小值为.

【解析】

【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）利用导数求出函数的单调减区间及极小值作答.

【小问1详解】

函数，求导得，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

【小问2详解】

函数，

求导得，

当或时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的单调减区间是，在处取得极小值.

19. 一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球

（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；

（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；

（3）若不放回的取3次球，求取出白球次数X的分布列及．

【答案】（1）   

（2）   

（3）分布列见解析，2

【解析】

【分析】（1）利用古典概型求得.

（2）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，进而求得.

（3）不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，计算出各自对应的概率，求得X的分布列，从而利用公式求得．

【小问1详解】

设“第次取到白球”，“第次取到黑球”，

因为是有放回的取2次球，则每次都是从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，

所以.

【小问2详解】

问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，

所以所求概率；

【小问3详解】

不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，

所以；；.

则X的分布列为：

故.

20. 已知.

（1）若，分别求出，，的值；

（2）求的展开式中系数最大的项.

【答案】（1）-64，-1，   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用展开式的通项公式求解，利用赋值法求解，由求导，再利用赋值法求解；

（2）由的展开式的通项公式为，设第r+1项为系数最大，由求解.

【小问1详解】

解：由，

二项式的展开式的通项公式为，

则，令，得，

令，得，所以，

由，求导得：

，

令，得；

【小问2详解】

的展开式的通项公式为，

设第r+1项为系数最大，

则，即，

解得，则，

所以的展开式中系数最大的项是.

21. 第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：

对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．

（1）请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；

（2）设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；

（3）建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．

附：参考数据及公式：，，，，，，

相关系数，

在线性回归方程中中，，．

，．

【答案】（1）见解析    （2）与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合，说明答案见解析；   

（3），并预测广告支出为18万元时的销售额为万元．

【解析】

【分析】（1）根据题设条件可得列联表，根据公式计算可认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过.

（2）由题中数据及公式计算相关系数，即可作出判断；

（3）由题中数据及（1）中结果计算出，即可得出关于的回归方程，再把代入即可求解．

【小问1详解】

根据题意，列联表完成如下：

假设为：性别与体验汉服之间无关联.

根据列联表数据，经计算得到

，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立.

即认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过.

【小问2详解】

由数据可知，

因，

，

，因为，

所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系.

【小问3详解】

由数据及公式可得：，

，

故关于的经验回归方程为，

当万元时，销售额预计为万元.

22. 已知函数有两个极值点，且.

（1）求的取值范围；

（2）若，证明：

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求出函数导数，利用极值点的意义构造函数，利用导数确定的取值范围，再求出函数的值域作答.

（2）利用（1）中信息，结合方程根的意义，借助分析法探讨结论成立的充分条件，再构造函数，利用导数讲明不等式恒成立作答.

【小问1详解】

在上有两个变号零点，即有两个不等实根，

设，当时，，当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，，

而，且当，恒有成立，于是，且，

即有，又，

则，

令，求导得，即在上单调递减，

从而，所以.

【小问2详解】

由（1）知，方程的两个实根，即，

亦即，从而，设，又，即，

要证，即证，即证，

即证，即证，

即证，即证，即证，

令，

设，

则在上单调递增，有，

于是，即有在上单调递增，因此，即，

所以成立.

【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.