3-专题二21不等式及其解法（习题+十年高考）

专题二 不等式

2.1　不等式及其解法

考点一　不等式的概念和性质

1.(2022全国甲理,12,5分)已知a=,b=cos,c=4sin,则 (　　)

A.c>b>a　　　　B.b>a>c

C.a>b>c　　　　D.a>c>b

答案　A　解法一:当x∈时,sin x<x<tan x,又,所以tan.由=1,可得c>b.当x∈R时,|x|≥|sin x|,即x2≥sin2x,所以,所以=1-cos x,即cos x≥1-,当且仅当x=0时等号成立,所以cos,即b>a.综上可知,c>b>a,故选A.

解法二:当x∈时,sin x<x<tan x.

①比较a与b.

b=cos,故b-a==2>0,∴b>a.

②比较b与c.

当x∈时,由x<tan x可知,

∴cos,即b<c.

综上可知,c>b>a.故选A.

2.(2019课标Ⅰ理,4,5分)

古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　)

A.165 cm　　　B.175 cm　　　C.185 cm　　　D.190 cm

答案　B　本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力,以及方程思想;考查的核心素养为数学抽象、数学建模以及数学运算.

由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm,可得到此人的身高应小于26+42+≈178 cm;

同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm,结合选项可知,只有B选项符合题意,故选B.

一题多解　用线段代替人,如图.

已知==≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为h cm,则a+b=h,由⇒a>64.89,

由⇒d<42.07,

所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,

由⇒b<110.15,

整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22(单位:cm).故选B.

3.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(　　)

A.ax+by+cz　　　　　B.az+by+cx

C.ay+bz+cx　　　　　D.ay+bx+cz

答案　B　用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B.

4.(2015北京文,10,5分)2-3,,log25三个数中最大的数是　　　　. 

答案　log25

解析　∵2-3=<1,1<<2,log25 >2,

∴这三个数中最大的数为log25.

考点二　不等式的解法

1.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组的解集为(　　)

A.{x|-2<x<-1}　　　　　B.{x|-1<x<0}

C.{x|0<x<1}　　　　　D.{x|x>1}

答案　C　由x(x+2)>0得x>0或x<-2;

由|x|<1得-1<x<1,

所以不等式组的解集为{x|0<x<1},

故选C.

2.(2014浙江文,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则(　　)

A.c≤3　　　　　B.3<c≤6

C.6<c≤9　　　　　D.c>9

答案　C　由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得

0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,

由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,

由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,

由①②,解得a=6,b=11,

∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故选C.

3.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　A　解法一:∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根.

由根与系数的关系知

∴x2-x1===15,

又∵a>0,∴a=,故选A.

解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0,

∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a),

又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),

∴x1=-2a,x2=4a.

∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,

解得a=,故选A.

4.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为　　　　. 

答案　{x|-1<x<2}

解析　不等式<4可转化为<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}.

5.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为　　　　.(用区间表示) 

答案　(-4,1)

解析　不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.

6.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-<x<,则a=　　　　. 

答案　-3

解析　依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为,

从而有此方程组无解.当a<0时,不等式的解集为,从而有解得a=-3.

7.(2013广东理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为　　　　. 

答案　{x|-2<x<1}

解析　x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.