17_专题六62平面向量的数量积及其应用（习题+十年高考+检测）

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6.2　平面向量的数量积及其应用
基础篇
考点　平面向量的数量积
考向一　平面向量的数量积的运算
1.(2023届浙南名校联盟联考,3)已知边长为3的正△ABC,BD=2DC,则AB·AD=(　　)
A.3　　　　B.9　　　　C.152　　　　D.6
答案　D　
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(2019课标Ⅱ理,3,5分)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=(　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.3
答案　C　
3.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
答案　C　
4.(2022江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知△ABC的外心为O,2AO=AB+AC,|AO|=|AB|=2,则AO·AC的值是(　　)
A.3　　　　B.32　　　　C.23　　　　D.6
答案　D　
5.(2023届辽宁六校期初考试,13)已知a=(3,4),|b|=5,则(a+b)·(a-b)=　　　　. 
答案　20
6.(2022全国甲理,13,5分)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　. 
答案　11
7.(2022湖南三湘名校、五市十校联考,14)已知点P(-2,0),AB是圆x2+y2=1的直径,则PA·PB=　　　　. 
答案　3
8.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=　　　. 
答案　-92

考向二　利用平面向量的垂直求参数
1.(2023届长春六中月考,5)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=(　　)
A.-4　　　　B.-3　　　　C.-2　　　　D.-1
答案　B　
2.(多选)(2022辽宁大连一中期中,9)已知平面向量AB=(-1,k),AC=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的可能取值是(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.5　　　　D.7
答案　BD　
3.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=　　. 
答案　-103
4.(2020课标Ⅰ文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　. 
答案　5
5.(2021全国乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　. 
答案　35
考向三　平面向量的夹角与模
1.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,3)已知四边形ABCD,设E为CD的中点,AC·AD=10,|AE|=4,则|CD|=(　　)
A.26　　　　B.6　　　　C.22　　　　D.2
答案　A　
2.(2022江苏泰州二调,3)已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为(　　)
A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°
答案　B　
3.(2022河北邢台“五岳联盟”联考,4)已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是(　　)
A.若a∥b,则t的值为-12
B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2
C.|a+b|的最小值为1
D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是t<2
答案　D　
4.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=(　　)
A.-6　　　　B.-5　　　　C.5　　　　D.6
答案　C　
5.(多选)(2023届哈尔滨师大附中月考,9)已知向量a=(1,3),b=(2,-4),则下列结论正确的是(　　)
A.(a+b)⊥a
B.向量a与向量b的夹角为3π4
C.|2a+b|=10
D.向量b在向量a上的投影向量是(1,3)
答案　AB　
6.(2023届广东普宁华美实验学校月考,13)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a与b的夹角为　　　　. 
答案　π4
7.(2022河北邢台期末,14)已知向量a=(1,-7),|b|=3,a·b=36,则a与b的夹角为　　　　. 
答案　π6
8.(2022湖南三湘名校联盟联考,13)已知向量a与b的夹角为π3,|a|=1,a·(a+b)=2,则|b|=　　　　. 
答案　2
9.(2022石家庄二中月考,13)已知单位向量a,b满足|a+b|=1,则|a-b|=　　　　. 
答案　3

综合篇
考法一　求平面向量模的方法
1.(2022福建龙岩一模,3)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=19,则|b|=(　　)
A.5　　　　B.32　　　　C.4　　　　D.3
答案　A　
2.(2022福建南平联考,6)已知单位向量e1,e2的夹角为2π3,则|e1-λe2|的最小值为(　　)
A.22　　　　B.12　　　　C.32　　　　D.34
答案　C　
3.(多选)(2022沈阳三十一中月考,9)若向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=5,则以下结论正确的是(　　)
A.a⊥b
B.|a+b|=2
C.|a-b|=2
D.向量a,b的夹角为60°
答案　AC　
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(　　)
A.|OP1|=|OP2|　　　　
B.|AP1|=|AP2|
C.OA·OP3=OP1·OP2　　　　
D.OA·OP1=OP2·OP3
答案　AC　
5.(2022重庆一中月考,8)已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4,在以三角形ABC的中心为圆心,r(0 A.13　　　　B.89　　　　
C.511　　　　D.11+6
答案　A　
6.(2023届湖北摸底联考,13)已知△ABC是边长为1的等边三角形,设向量a,b满足AB=a,AC=a+b,则|3a+b|=　　　　. 
答案　7
7.(2023届甘肃张掖诊断,13)已知a,b是单位向量,且|a-b|=1,则|a+b|=　　　　. 
答案　3
8.(2022河北衡水中学模拟一,14)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=3,|b|=1,设m=a+b,n=a-b,则向量m在n方向上的投影向量的模为　　　　. 
答案　2
9.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=　. 
答案　32
考法二　求平面向量夹角的方法
1.(2023届福建漳州质检,4)已知a,b,c均为单位向量,且满足a+b+c=0,则=(　　)
A.π6　　　　B.π3　　　　C.π2　　　　D.2π3
答案　C　
2.(2022山东烟台莱州一中开学考,4)已知|a|=2,|b|=4,当b⊥(4a-b)时,向量a与b的夹角为(　　)
A.π6　　　　B.π4　　　　C.2π3　　　　D.3π4
答案　B　
3.(2022福建龙岩一中月考,2)已知向量a,b满足3|a|=2|b|=3,若|a+2b|=14,则a,b的夹角的余弦值为(　　)
A.12　　　　B.13　　　　C.23　　　　D.56
答案　C　
4.(2019课标Ⅲ理,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos=　　　　. 
答案　23

考法三　平面向量数量积的综合应用
考向一　平面向量与平面几何的综合
1. (2022福建泉州质量监测二,7)四边形ABCD为梯形,且AB=2DC,|DC|=|DA|=2,
∠DAB=π3,点P是四边形ABCD内及其边界上的点.若(AP−DP)·(PB+BA)=-4,则点P的轨迹的长度是(　　)
A.3　　　　B.23　　　　C.4π　　　　D.16π
答案　B　
2. (2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,
∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为(　　)

A.2116　　　　B.32　　　　C.2516　　　　D.3
答案　A　
3.(2022辽宁部分中学期末,7)已知O为坐标原点,向量OA,OB,OC满足|OA|=|OB|=|OC|=1,(OA−OB)·(OB−OC)=0,若|OP|=4,则|PA+PB+PC|的取值范围是(　　)
A.[11,13]　　　　B.[8,11]
C.[8,13]　　　　D.[5,11]
答案　A　
4.(2023届山西长治质量检测,16)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,矩形内一点M(含边界),满足AM·AB=AM2,若BM=λBC+μBA,当3λ+2μ取得最大值时,MB·AC=　　　　. 
答案　2-22
5.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AB+AC),则|PD|=　　　　;PB·PD=　　　　. 
答案　5　-1
6.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE=　. 
答案　-1
考向二　平面向量数量积的最值问题
1.(2022辽宁六校协作体期中,8)边长为2的正三角形ABC内一点M(包括边界)满足:CM=13CA+λCB(λ∈R),则CA·BM的取值范围是(　　)
A.−43,23　　　　B.−23,23
C.−43,43　　　　D.[-2,2]
答案　B　
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是(　　)
A.(-2,6)　　　　B.(-6,2)　　　　
C.(-2,4)　　　　D.(-4,6)
答案　A　
3. (2022湖北部分重点中学联考,6)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,动点M从顶点B出发,沿正六边形的边逆时针运动到顶点F,若FD·AM的最大值和最小值分别是m,n,则m+n=(　　)

A.9　　　　B.10　　　　C.11　　　　D.12
答案　D　
4.(2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD=λBC,AD·AB=−32,则实数λ的值为　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DM·DN的最小值为　　　　. 

答案　16　132

专题综合检测
一、单项选择题
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022辽宁大连一中期中,6)设向量a,b满足|a+b|=5,|a-b|=1,则a·b=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.4　　　　D.-4
答案　A　
2.(2022河北曲阳一中月考,3)已知|a|=4,|b|=1,且(2a-3b)·b=3,则向量a,b的夹角的余弦值为(　　)
A.-34　　　　B.34　　　　C.56　　　　D.−56
答案　B　
3.(2022湖南常德临澧一中月考,4)已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=(　　)
A.32,12　　　　B.12,32
C.14,334　　　　D.(1,0)
答案　B　
4.(2020课标Ⅱ文,5,5分)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　)
A.a+2b　　　　B.2a+b　　　　C.a-2b　　　　D.2a-b
答案　D　
5.(2022江苏南京、盐城模拟,6)在平面直角坐标系xOy中,设A(1,0),B(3,4),向量OC=xOA+yOB,x+y=6,则|AC|的最小值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.5　　　　D.25
答案　D　
6.(2022湖北部分重点中学联考,3)已知|a|=3,|b|=1,|a-2b|=19,则向量a,b的夹角为　　(　　)
A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°
答案　C　
7.(2022辽东南协作体期中,6)已知平面向量m,n满足|m|=3,n=(4,-3),且m,n之间的夹角为60°,则|m-2n|=(　　)
A.109　　　　B.89　　　　C.79　　　　D.139
答案　C　
8.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为(　　)

A.-15　　　　B.-9　　　　C.-6　　　　D.0
答案　C　
二、多项选择题
9.(2022辽宁六校联考,11)给出下列命题,其中正确的有(　　)
A.非零向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°
B.若(AB+AC)·BC=0,则△ABC为等腰三角形
C.等边△ABC的边长为2,则AB·BC=2
D.已知向量a=(1,-2),b=(k,1)且a⊥(a+b),则k=0
答案　AB　
10.(2022湖北部分重点中学联考,11)已知a=(sin α,cos 2α+5),b=(3sin α+7,-1),且a⊥b,则(　　)
A.sin α=35
B.sin 2α=2425
C.cos 2α=725
D.若-π2<α<π2,则tanα+π4=7
答案　ACD　
11.(2022河北神州智达省级联测,9)设0<θ<π,非零向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),则(　　)
A.若tan θ=12,则a∥b
B.若θ=3π4,则a⊥b
C.存在θ,使2a=b
D.若a∥b,则tan θ=12
答案　ABD　
12.(2022山东青岛二中期末,10)已知平面向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb(k∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.{a,b}可以作为平面内所有向量的一个基底
B.若a⊥c,则k=-103
C.存在实数k,使得b∥c
D.若|cos|≤31010,则k≤-53
答案　ABD　
三、填空题
13.(2022辽东南协作体期中,14)已知向量m=(1,a),n=(2b-1,3)(a>0,b>0),若m⊥n,则1a+2b的最小值为　　　　. 
答案　7+43
14.(2022重庆涪陵实验中学期中,14)如图,在△ABC中,D是BC的中点,|AB|=1,|AC|=3,则AD·BC=　　　　. 

答案　1
15.(2022重庆七中期中,15)已知|OA|=|OB|=2,且向量OA与OB的夹角为90°,又|PO|=1,则AP·BP的取值范围为　. 
答案　[1-22,1+22]
四、解答题
16.(2022重庆梁平调研,19)如图,平面四边形OABC中,OA=OB=OC=1,对角线AC,OB相交于点M.设AM=λAC(0<λ<1),且OM=tOB(0 (1)用向量OA,OB表示向量OC;
(2)若∠BOA=π3,记λ=f(t),求f(t)的解析式.

解析　(1)∵AM=λAC(0<λ<1),OM=tOB(0 即λOC=(λ-1)OA+tOB,∴OC=λ−1λOA+tλOB.
(2)∵∠BOA=π3,OA=OB=1,∴OA·OB=|OA|·|OB|·cos π3=12,又OC=λ−1λOA+tλOB且OC=1,∴OC2=λ−1λOA+tλOB2=1,即λ−1λ2+tλ2+λ−1λ·tλ=1,∴λ2-2λ+1+t2+λt-t=λ2,∴λ=f(t)=t2−t+12−t(0