18_专题七71数列的概念及表示（习题+十年高考）

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专题七　数列7.1　数列的概念及表示基础篇考点　数列的概念及表示　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2022山东潍坊调研,5)已知数列{an}中,a1=2,an=1-(n≥2),则a2 022= (　　)A.　　　　C.-1　　　　D.2答案　C　2.(2021广州模拟,6)数列{an}为,3,,8,,…,则此数列的通项公式可能是 (　　)A.an=C.an=答案　A　3.(2022福建泉州一中月考,6)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),若{an}是递增数列,则实数a的取值范围可以是              (　　)A.(1,2)　　　　B.(2,3)　　　　C.(1,3)　　　　D.(3,6)答案　B　4.(多选)(2022福建莆田二中模考,10)数列{an}中,设Tn=a1·a2…an.若Tn存在最大值,则an可以是              (　　)A.an=2n-6　　　　B.an=(-1)nC.an=2n-9　　　　D.an=答案　BD　5.(2022天津新华中学期末,14)在数列{an}中,an=(n+1),则数列{an}中的最大项的n=　　　　. 答案　6或76.(2022广州市铁一中学期末,14)已知数列{an}满足an=,{an}的前n项的和记为Sn,则=　　　　. 答案　37.(2023届广州阶段测试,17)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}(若有相同元素,按重复方式计入排列)为1,3,3,5,7,9,9,11,….设数列{an}的前n项和为Sn.(1)若am=27,求m的值;(2)求S50的值.解析　(1)因为am=27,所以数列{an}的前m项中含有A中的元素为1,3,5,7,9,…,27,共有14项,含有B中的元素为3,9,27,共有3项,排列后为1,3,3,5,7,9,9,…,27,27,所以m=16或17.(2)2×50-1=99,34=81<99,35=243>99,因此数列{an}的前50项中含有B中的元素为3,9,27,81,共有4项,含有A中的元素为1,3,5,7,9,…,27,29,…,79,81,83,…,2×46-1=91,共有46项,∴S50=+(3+9+27+81)=2 116+120=2 236.综合篇考法一　利用Sn与an的关系求通项公式 1.(2022重庆一中月考,5)已知数列{an}满足a1=1,前n项和为Sn,且Sn=2an(n≥2,n∈N*),则{an}(n≥2)的通项公式为an=              (　　)A.2n-1　　　　B.2n-2C.2n+1-3　　　　D.3-2n答案　B　　　　　　　　　　　　　　　　　2.(2023届贵阳摸底,8)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+2=an+1(n∈N*),则a2+a4+…+a2 022=              (　　)A.×(22 022-1)　　　　B.×(22 024-1)C.答案　A　3.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,17)记各项均为正数的数列{an}的前n项和是Sn,已知+an=2Sn,n为正整数.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=tan an·tan an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.解析　(1)由+an=2Sn得当n≥2时,+an-1=2Sn-1,两式相减得+an-an-1=2an,即(an-an-1-1)(an+an-1)=0,因为数列各项均为正数,所以an=an-1+1(n≥2),即an-an-1=1(n≥2),故{an}是公差为1的等差数列,又当n=1时,+a1=2a1,解得a1=1,所以an=n.(2)tan 1=tan[(n+1)-n]=,故bn=tan(n+1)tan n=-1,则Tn=b1+b2+b3+…+bn=[tan(n+1)-tan n+tan n-tan(n-1)+…+tan 2-tan 1]-n=[tan(n+1)-tan 1]-n=-n-1.  (2022湖北大冶一中模拟,17)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-11,a2=-9,且Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解析　(1)由题意知(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2(n≥2),则an+1-an=2(n≥2),又a2-a1=2,所以{an}是首项为-11,公差为2的等差数列,则an=a1+(n-1)d=2n-13.(2)由题知bn=,则Tn=+…+=.5.(2022重庆八中入学测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解析　(1)当n=1时,S1=2a1-1,解得a1=1.当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,则Sn-Sn-1=an=2an-2an-1,即an=2an-1.所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1(n∈N*).(2)bn=,∴Tn=1+,∴,两式相减得,∴Tn=6-(n∈N*).考法二　利用递推关系求数列的通项公式 1.(2022江苏盐城期中,7)已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则a6的值为 (　　)A.220　　　　B.224　　　　C.21 024　　　　D.24 096答案　C　2.(2022长沙雅礼中学等十六校联考,5)已知数列{an}满足an-1=an+an-2(n≥3),设数列{an}的前n项和为Sn,若S2 020=2 019,S2 019=2 020,则S2 021=              (　　)A.1 008　　　　B.1 009　　　　C.2 016　　　　D.2 018答案　B　3.(2022山东聊城期中,8)设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n-1an=,则数列{an}的前n项和Sn为              (　　)A.C.答案　C　4.(多选)(2023届石家庄二中开学考,11)已知数列{an}满足a2=3,an·an+1=3n(n∈N*),Sn为数列{an}的前n项和,则              (　　)A.{an}是等比数列B.{a2n}是等比数列C.S2 022=2(31 011-1)D.{an}中存在不相等的三项构成等差数列答案　BC　5.(2022江苏泰州中学检测)在数列{an}中,a1=3,(n∈N*),则an=　　　　,若λan≥4n对所有n∈N*恒成立,则λ的取值范围是　　　　　　. 答案　6.(2020课标Ⅰ文,16,5分)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=　　　　. 答案　77.(2022湖南天壹名校联盟摸底考试)已知数列{an}满足anan+1=22n,a1=1.(1)求a2n;(2)求满足a1+a2+…+a2n<2 022的最大的正整数n的值.解析　(1)因为anan+1=22n,a1=1,所以a1a2=22,a2=4,又an+1an+2=22n+2,所以=4,所以{an}的奇数项是以1为首项,4为公比的等比数列,偶数项是以4为首项,4为公比的等比数列,所以an=所以a2n=22n.(2)令S2n=a1+a2+…+a2n,所以S2n=,易知f(x)=在定义域上单调递增,且f(4)=425, f(5)=1 705, f(6)=6 825,因为a1+a2+…+a2n<2 022,所以n<6,又因为n为正整数,所以n的最大值为5.