22_专题八81空间几何体的表面积和体积（习题+十年高考）

专题八　立体几何

8.1　空间几何体的表面积和体积

基础篇

考点一　空间几何体的结构特征

1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为              (　　)

A.2　　　　B.2

答案　B　

2.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为              (　　)

A.　　　　D.2π

答案　C　

3.(多选)(2023届湖北摸底联考,10)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9,且∠ABC=120°,则该圆台的              (　　)

图1

图2

A.高为4

B.体积为π

C.表面积为34π

D.上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶22

答案　AC　

4.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是　　　　. 

答案　1

考点二　空间几何体的表面积与体积

1.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为              (　　)

A.8　　　　B.6

答案　C　

2.(2022武汉部分重点中学联考,3)若一圆台的上底面半径为1,且上、下底面半径和高的比为1∶2∶,则圆台的体积为              (　　)

A.π

答案　C　

3.(2023届浙南名校联盟联考,4)直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一球面上,若AB=3,AC=AA1=2,∠BAC=,则此球的表面积为              (　　)

A.　　　　D.32π

答案　B　

4.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为              (　　)

A.

答案　A　

5.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为　　　　. 

答案　39π

6.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为　　. 

答案　1

7.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为　　　　. 

答案　

综合篇

考法一　空间几何体的表面积和体积

考向一　求空间几何体表面积的方法

1.(2022广东中山模拟,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.现已知该四棱锥的高与斜高(棱锥侧面三角形底边上的高)的比值为,则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是              (　　)

A.

答案　B　

2.(2023届广州8月阶段测,4)2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫,威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进,开尔文胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为1,则该多面体的表面积是              (　　)

A.9+6　　　　B.9+8

C.12+6　　　　D.12+8

答案　C　

3.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为              (　　)

A.36π　　　　B.64π　　　　C.144π　　　　D.256π

答案　C　

4.(2020课标Ⅰ,文12,理10,5分)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为              (　　)

A.64π　　　　B.48π　　　　C.36π　　　　D.32π

答案　A　

5.(2018课标Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为　　　　. 

答案　40π

考向二　求空间几何体体积的方法

1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为              (　　)

A.56　　　　B.28

答案　D　

2.(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65)              (　　)

A.1.0×109 m3　　　　B.1.2×109 m3

C.1.4×109 m3　　　　D.1.6×109 m3

答案　C　

3.(2022全国甲,理9,文10,5分)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则=              (　　)

A.

答案　C　

4.(2022全国乙,理9,文12,5分)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为              (　　)

A.

答案　C　

5.(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是              (　　)

A.

C.　　　　D.[18,27]

答案　C　

6.(多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则              (　　)

A.V3=2V2　　　　B.V3=V1

C.V3=V1+V2　　　　D.2V3=3V1

答案　CD　

7.(多选)(2023届长沙长郡中学月考,10)正四棱锥P-ABCD的所有棱长为2,用垂直于侧棱PC的平面α截该四棱锥,则              (　　)

A.PC⊥BD

B.四棱锥外接球的表面积为8π

C.PA与底面ABCD所成的角为60°

D.当平面α经过侧棱PC的中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3∶1

答案　ABD　

考法二　与球有关的切、接问题

考向一　空间几何体的外接球问题

1.(2020天津,5,5分)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　　)

A.12π　　　　B.24π　　　　C.36π　　　　D.144π

答案　C　

2.(2020课标Ⅱ理,10,5分)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为              (　　)

A.

答案　C　

3.(2022江苏南通重点中学强基测试,8)三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上.PA=2,PB=3,PC=4,AB=,BC=5,AC=2,则球O的表面积为              (　　)

A.28π　　　　B.29π　　　　C.30π　　　　D.31π

答案　B　

4.(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)

A.100π　　　　B.128π　　　　C.144π　　　　D.192π

答案　A　

5.(2023届海南琼海嘉积中学月考,8)中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也,甍,屋盖也”.翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长

没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE、四边形DCFE为两个全等的等腰梯形,EF∥AB,AB=BF=2EF=4,则此刍甍的外接球的表面积为              (　　)

A.π　　　　B.π

C.π　　　　D.π

答案　C　

6.(2019课标Ⅰ理,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为　              (　　)

A.8π　　　　B.4π　　　　C.2π　　　　D.π

答案　D　

7.(2022山东青岛二中期末,15)已知A,B,C是半径为2的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=,则三棱锥O-ABC的体积为　　　　. 

答案　

考向二　空间几何体的内切球问题

1.(2022辽宁鞍山月考,4)正方体的外接球体积与内切球体积的比为 (　　)

A.3　　　　B.3　　　　D.2

答案　B　

2.(2022辽宁大连模拟,6)现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥,其内部放有一个小球,当小球体积最大时,该圆锥与小球的体积之比是              (　　)

A.9∶4　　　　B.9∶5　　　　C.3∶2　　　　D.3∶1

答案　A　

3.(2022浙江丽水模拟)已知球O为正四面体ABCD的内切球,E为棱BD的中点,AB=2,则平面ACE截球O所得截面圆的直径为　　　　. 

答案