29_专题九93双曲线及其性质（习题+十年高考）

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9.3　双曲线及其性质
基础篇
考点一　双曲线的定义及标准方程
1.(2021湖北十堰月考,3)方程x22+m−y21−m=1表示的曲线是双曲线,则m的取值范围是(　　)
A.-20)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为　(　　)
A.x28−y210=1　　　　B.x24−y25=1
C.x25−y24=1　　　　D.x24−y23=1
答案　B　
5.(2023届海南琼海嘉积中学月考,13)双曲线x2-my2=1的渐近线方程为y=±2x,则m=　　　　. 
答案　14


考点二　双曲线的几何性质
1.(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为(　　)
A.95　　　　B.85　　　　C.65　　　　D.45
答案　A　
2.(2023届长春六中月考,8)若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,则其渐近线方程为(　　)
A.y=±2x　　　　B.y=±12x
C.y=±3x　　　　D.y=±5x
答案　A　
3.(2019课标Ⅲ理,10,5分)双曲线C:x24−y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为　(　　)
A.324　　　　B.322　　　　C.22　　　　D.32
答案　A　
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
答案　B　
5.(多选)(2023届河北邯郸摸底,10)已知双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,P为C上一点,则(　　)
A.双曲线C的实轴长为2
B.双曲线C的一条渐近线方程为y=3x
C.|PF1|-|PF2|=2
D.双曲线C的焦距为4
答案　ABD　
6.(多选)(2023届重庆八中入学考,11)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是(　　)
A.与x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)共轭的双曲线是y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)
B.互为共轭的双曲线的渐近线不相同
C.互为共轭的双曲线的离心率为e1、e2,则e1e2≥2
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
答案　CD　
7.(多选)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为渐近线的双曲线的方程可能是(　　)
A.x2-4y2=1　　　　B.4y2-x2=1
C.x2-y24=1　　　　D.x24-y2=1
答案　ABD　
8.(2022河北邯郸一中开学考,8)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为54,O为坐标原点,右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,若△OPF的周长为12,则双曲线的实轴长为(　　)
A.8　　　　B.4　　　　C.22　　　　D.2
答案　A　
9.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1.(　　)
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为n
C.若mn0,则C是两条直线
答案　ACD　
10.(2023届安徽十校联考,14)已知双曲线E:x2a2−y29=1(a>0)的渐近线方程为y=±3x,则双曲线E的焦距等于　　　　. 
答案　43
11.(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为　　　　. 
答案　y=±3x
12.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为　　　　. 
答案　4
13.(2020北京,12,5分)已知双曲线C:x26−y23=1,则C的右焦点的坐标为　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　. 
答案　(3,0)　3
14.(2021全国乙文,14,5分)双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　. 
答案　5
15.(2022北京,12,5分)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m=　　　　. 
答案　-3
考点三　直线与双曲线的位置关系
1.(2022河北沧州一中月考,8)已知F1,F2分别是双曲线C:x23-y2=1的左,右焦点,点M在直线x-y+3=0上,则|MF1|+|MF2|的最小值为(　　)
A.213　　　　B.6　　　　C.26　　　　D.5
答案　C　
2.(2021湘豫名校4月联考,10)已知双曲线C:x216−y29=1的右焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点,且∠AFB=60°,则△OBF的面积为(　　)
A.92　　　　B.932　　　　C.32　　　　D.332
答案　D　
3.(多选)(2023届湖北摸底联考,12)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左、右顶点分别为A1,A2,则(　　)
A.过点A2与C只有一个公共点的直线有2条
B.若C的离心率为5,则点F关于C的渐近线的对称点在C上
C.过F的直线与C的右支交于M,N两点,则线段MN的长度有最小值
D.若C为等轴双曲线,点P是C上异于顶点的一点,且|A1A2|=|PA2|,则∠PA1A2=π6
答案　BCD　
4.(2023届浙江嘉兴一中期中,21)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且OP·OQ=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.

解析　(1)由离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上,
可得ca=2,5a2−3b2=1,结合a2+b2=c2,
解得a=2,b=23,c=4,
则双曲线的方程为x24−y212=1.
(2)由OP·OQ=0,可得OP⊥OQ,
设OP的方程为y=kx,则OQ的方程为y=-1kx,
由y=kx,3x2−y2=12解得x2=123−k2,y2=12k23−k2,
则|OP|2=12(1+k2)3−k2,
将k换为-1k,可得|OQ|2=12(1+k2)3k2−1,133),由y=kx+b,3x2−y2−3=0消y得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,由Δ>0,得b2+3-k2>0,
由根与系数的关系得x1+x2=2kb3−k2,x1x2=−b2−33−k2,
∴x1-x2=(x1+x2)2−4x1x2=23(b2+3−k2)3−k2,
设点M的坐标为(x0,y0),则直线PM、QM的方程分别为y-y0=-3(x-x0),y-y0=3(x-x0),
故y1−y0=−3(x1−x0),(∗)y2−y0=3(x2−x0),(∗∗)
(*)-(**)得y1-y2=-3(x1+x2-2x0),
即k(x1-x2)=-3(x1+x2-2x0),
解得x0=kb2+3−k2+kb3−k2,
又(*)+(**)得y1+y2-2y0=3(x2-x1),而y1+y2=k(x1+x2)+2b,∴k(x1+x2)+2b-2y0=3(x2-x1),
解得y0=3b2+3−k2+3b3−k2=3kx0.
故点M的轨迹方程为y=3kx,其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②作为条件,③作为结论,
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=3x上,
则由y=k(x−2),y=3x,得x=2kk−3,y=23kk−3,
∴A2kk−3,23kk−3,同理B2kk+3,−23kk+3,
又由y=k(x−2),y=3kx,得x=2k2k2−3,y=6kk2−3,∴M2k2k2−3,6kk2−3,
∴xM=xA+xB2,yM=yA+yB2,即M为AB的中点,
∴|MA|=|MB|.
若选择①③作为条件,②作为结论,
当直线AB的斜率不存在时,点M即为F(2,0),此时M不在直线y=3kx上,不符合题意,舍去;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x-2),m≠0,±3.不妨设点A在渐近线y=3x上,且A(xA,yA),B(xB,yB).
由y=m(x−2),y=3x,得x=2mm−3,y=23mm−3,
∴A2mm−3,23mm−3,
同理B2mm+3,−23mm+3,
此时xM=xA+xB2=2m2m2−3,yM=yA+yB2=6mm2−3,
∵点M在直线y=3kx上,
∴6mm2−3=3k·2m2m2−3,解得k=m,故PQ∥AB.
若选择②③,作为条件,①作为结论,
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=3x上,
则yA=k(xA−2),yA=3xA,解得xA=2kk−3,yA=23kk−3,
同理,得xB=2kk+3,yB=-23kk+3,
设线段AB的中点为C(xC,yC),
则xC=xA+xB2=2k2k2−3,yC=yA+yB2=6kk2−3,
由于|MA|=|MB|,故点M在线段AB的中垂线上,
即点M在直线y-yC=-1k(x-xC)上,
将该直线方程与y=3kx联立,得xM=2k2k2−3=xC,yM=6kk2−3=yC,即点M恰为线段AB的中点,
故点M在直线AB上.

综合篇
考法一　求双曲线的标准方程
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022天津河西期末,4)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,且双曲线上的一点P到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为(　　)
A.x29−y216=1　　　　B.x216−y29=1
C.y29−x216=1　　　　D.y216−x29=1
答案　C　
2.(2022海南琼海嘉积三中月考,5)双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为5,且过A(4,43),则双曲线方程为(　　)
A.x2-y24=1　　　　B.x26−y224=1
C.x28−y248=1　　　　D.x24−y216=1
答案　D　
3.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为(　　)
A.x24−y24=1　　　　B.x2−y24=1
C.x24-y2=1　　　　D.x2-y2=1
答案　D　
4.(2022天津和平模考,4)在平面直角坐标系中,双曲线C过点P(1,1),且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x-y=0,则双曲线C的方程为(　　)
A.x23−4y23=1
B.4x23−y23=1
C.4x23−y23=1或x23−4y23=1
D.4y23−x23=1
答案　B　
5.(2021湖南永州二模,15)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为355,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为5,则双曲线C的方程为　　　　　　. 
答案　x25−y24=1
6.(2022广州二模,13)写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程:　　　　. 
①中心在原点,焦点在y轴上;②一条渐近线方程为y=2x;③焦距大于10.
答案　y224−x26=1(答案不唯一)
7.(2023届湖北起点考试,21)已知双曲线C与双曲线x212−y23=1有相同的渐近线,且过点A(22,-1).
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知D(2,0),E,F是双曲线C上不同于D的两点,且DE·DF=0,DG⊥EF于G,证明:存在定点H,使得|GH|为定值.
解析　(1)因为双曲线C与双曲线x212−y23=1有相同的渐近线,所以设双曲线C的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
因为双曲线C过点A(22,-1),所以(22)2-4×(-1)2=λ,解得λ=4,
所以双曲线C的标准方程为x24-y2=1.
(2)证明:(i)当直线EF的斜率存在时,设EF:y=kx+m,E(x1,y1),F(x2,y2),联立y=kx+m,x24−y2=1,消y整理得(4k2-1)x2+8kmx+4(m2+1)=0,
由Δ=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)>0,得4k2-m2-10)的一条渐近线方程为x+2y=0,则C的离心率为(　　)
A.52　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.5
答案　A　
2.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(　　)
A.2sin 40°　　　　B.2cos 40°
C.1sin50°　　　　D.1cos50°
答案　D　
3.(2021全国甲理,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　)
A.72　　　　B.132　　　　C.7　　　　D.13
答案　A　
　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(2022江苏百校大联考,4)图1所示的为陕西历史博物馆收藏的国宝——金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.如图2,该杯的主体部分可以近似看作是由双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支、y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上杯口外直径为1033,下底座外直径为2393,杯高为6,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍,则双曲线C的离心率为(　　)

A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　A　
5.(2022江苏海门开学考,7)从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮廓为圆O,将篮球表面的线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,AB=BC=CD,则该双曲线的离心率为(　　)

A.2　　　　B.62　　　　C.355　　　　D.477
答案　D　
6.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=52x,则该双曲线的离心率是　　　　. 
答案　32
7.(2023届广东佛山顺德教学质量检测一,15)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l:y=bax,左、右焦点分别是F1,F2,过点F2作x轴的垂线与渐近线l交于点A,若∠AF1F2=π6,则双曲线C的离心率为　　　　. 
答案　213
8.(2023届湖北名校联盟联合测评,14)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1作圆O:x2+y2=a2的切线l,l与圆O切于点B,并与双曲线的右支交于点C,若|BC|=|CF2|,则双曲线的离心率为　　　　. 
答案　5
9.(2023届广西北海一模,15)如图,已知双曲线M:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上,则双曲线M的离心率是　　　　. 

答案　13+13
10.(2022浙江,16,4分)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x10)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　. 
答案　2
12.(2022长沙雅礼中学月考一,15)已知F为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,则该双曲线的离心率为　　　　. 
答案　5+12
13.(2021广州一模,15)已知圆(x-1)2+y2=4与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线相交于四个点,按顺时针排列依次记为M,N,P,Q,且|MN|=2|PQ|,则C的离心率为　　　　. 
答案　263
14.(2021东北三省三校第一次联考,15)双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点(P在第二象限,Q在第一象限),F1P=2PQ,F1Q·F2Q=0,则双曲线C的离心率为　　　　. 
答案　4