33_专题十102二项式定理（习题+十年高考+检测）

专题十　计数原理

一、单项选择题

1.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为              (　　)

A.24 B.18 C.12 D.9

答案　B　分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.

2.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,2)若3个班级分别从6个风景点中选择一处游览,则不同选法有              (　　)

A.种 B.种 C.36种 D.63种

答案　D　每个班级有6种选法,则3个班级有6×6×6=63种不同的选法.故选D.

3.(2023届贵阳一中月考一,5)二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年—1665年间提出,据考证,我国至迟在11世纪,北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的展开式中,x的系数为(　　)

A.10 B. C. D.

答案　C　的展开式的通项为Tk+1=(x2)5kx103k(k=0,1,2,3,4,5),令10-3k=1,解得k=3,所以在的展开式中,x的系数为.故选C.

4.(2022河南开封模拟,4)的展开式中所有有理项的系数和为 (　　)

A.85 B.29 C.-27 D.-84

答案　C　展开式的通项为Tr+1==(-1)r ,其中r=0,1,2,3,4,5,6,7,8.当r=0,3,6时,Tr+1为有理项,故有理项系数和为(-1)0+(-1)3+(-1)6=1+(-56)+28=-27,故选C.

5.(2023届哈尔滨质检,5)小张接到5项工作,要在周一、周二、周三、周四这4天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有              (　　)

A.180种 B.480种 C.90种 D.120种

答案　A　首先从5项工作中选一项安排到周一,再从其余4项工作中选出2项作为一个整体,最后将这三组安排到周二、周三、周四三天,则不同的安排方式有=180种.故选A.

6.(2023届四川南江中学阶段测试,9)4张卡片的正、反面分别写有数字1,2;1,3;4,5;6,7.将这4张卡片排成一排,可构成不同的四位数的个数为              (　　)

A.288 B.336 C.368 D.412

答案　B　当四位数中不出现1时,排法有=96种;

当四位数中出现一个1时,排法有2×=192种;

当四位数中出现两个1时,排法有=48种.

所以可构成不同的四位数的个数为96+192+48=336.故选B.

7.(2022湖北荆门龙泉中学二模,3)若今天(第一天)是星期二,则第1510天是 (　　)

A.星期三 B.星期日 

C.星期二 D.星期五

答案　C　1510=(14+1)10的展开式的通项为Tr+1=1410-r,又14可被7整除,所以当10-r≠0时,Tr+1均可被7整除,当10-r=0时,T11=1,所以第1510天是星期二.故选C.

8.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,8)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=              (　　)

A.1 B.32 C.81 D.243

答案　D　因为-2<0,所以x的奇数次幂的系数a1,a3,a5均为负数,即|a1|=-a1,|a3|=-a3,|a5|=-a5,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243,故选D.

二、多项选择题

9.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),11)若122 022+a能被7整除,则整数a的值可以是              (　　)

A.4 B.6 C.11 D.13

答案　BD　122 022=(14-2)2 022与(-2)2 022=22 022被7除同余,22 022=8674=(7+1)674被7除余1,故1+a能被7整除,则a=7k+6(k∈Z),故选BD.

10.(2022湖南新高考教学教研联盟联考一,10)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),则下列结论正确的是(　　)

A.a0=an

B.当a3=10时,n=5

C.若(1+x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大,则n等于12或13

D.当n=4时,

答案　ABD　a0=an=1,A正确;

x3的系数a3=,则=10,所以n=5,B正确;

若(1+x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大,当n为偶数时,n等于12,当n为奇数时,n等于11或13,C错误;

当n=4时,(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.

令x=,则,又a0=1,

所以,D正确.故选ABD.

11.(2021江苏百校联考4月调研,11)设(1-2x)29=a0+a1x+a2x2+…+a29x29,则下列结论正确的是              (　　)

A.a15+a16>0

B.a1+a2+a3+…+a29=-1

C.a1+a3+a5+…+a29=-

D.a1+2a2+3a3+…+29a29=-58

答案　ACD　对于选项A,a15+a16=(-2)15+(-2)16>0,故选项A正确;对于选项B,令x=0,可得a0=1,令x=1,得a0+a1+…+a29=-1,所以a1+a2+…+a29=-2,故选项B错误;对于选项C,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a29=329,则2(a1+a3+…+a29)=-1-329,故选项C正确;对于选项D,在等式两边对x求导可得-58(1-2x)28=a1+2a2x+…+29a29x28,令x=1,可得a1+2a2+…+29a29=-58,故选项D正确.故选ACD.

12.(2022山东滨州邹平一中3月月考,9)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,其中A1,A2,A3,A4是道路网中位于一条对角线上的4个交会处.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达N,M处为止,则下列说法正确的有(　　)

A.甲从M到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过A3到达N处的方法有9种

C.甲、乙两人在A3处相遇的概率为

D.甲、乙两人相遇的概率为

答案　BD　对于A,甲从M到达N处,需要走6步,其中向上3步,向右3步,所以从M到达N处的方法有=20种,故A错误;对于B,甲从M到达A3,需要走3步,其中向上1步,向右2步,共=3种,从A3到达N,需要走3步,其中向上2步,向右1步,共=3种,所以甲从M必须经过A3到达N处的方法有3×3=9种,故B正确;对于C,甲经过A3的方法数为=9,乙经过A3的方法数为=9,所以甲、乙两人在A3处相遇的方法数为=81种,故甲、乙两人在A3处相遇的概率P=,故C错误;对于D,甲、乙两人沿着最短路径行走,只能在A1,A2,A3,A4处相遇,若甲、乙两人在A1处相遇,甲经过A1处,前3步必须向上走,乙经过A1处,则前3步必须向左走,两人在A1处相遇走法有1种,若甲、乙两人在A2或A3处相遇,由选项C知,各有=81种,若甲、乙两人在A4处相遇,甲经过A4处,则前3步必须向右走,乙经过A4处,则乙前3步必须向下走,则两人在A4处相遇的走法有1种.所以甲、乙两人相遇的概率P=,故D正确.故选BD.

三、填空题

13.(2023届成都七中万达学校9月月考,14)(5-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和为64,则展开式中的常数项为　　　　. 

答案　15 625

解析　(5-3x+2y)n的展开式中不含y的项,即展开式中y的指数为0,即(5-3x)n的展开式.令x=1,得(5-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和为(5-3)n=64,所以n=6.因为(5-3x+2y)6=[5-(3x-2y)]6,所以展开式中的常数项为×56=15 625.

14.(2023届陕西师范大学附属中学期中,16)已知(a2+1)n的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的二项式系数最大的项为54,则正数a的值为　　　　. 

答案　

解析　的展开式的通项为Tr+1=,0≤r≤5,r∈Z.

令10-=0,解得r=4,故=16.

令a2=1,则(a2+1)n=2n=16,故n=4.∵(a2+1)n=(a2+1)4的展开式的二项式系数最大的项为a4=54,∴a2=3,解得a=±.∵a>0,∴a=.

15.(2022福建漳州三模,13)711除以6的余数是　　　　. 

答案　1

解析　711=(1+6)11=611,

因为611可被6整除且60=1,

所以711除以6的余数是1.

16.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有　　　　种.(用数字填写答案) 

答案　16

解析　解法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种:

①2女1男:有=4种选法;

②1女2男:有=12种选法,

故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种.

解法二:从2位女生,4位男生中选3人有=20种选法,其中选出的3人都是男生的选法有=4种,所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.