人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较测试题

第四章4.5　增长速度的比较

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]若函数f(x)=从1到a的平均变化率为,则实数a的值为(　　)

A.10 B.9 C.8 D.7

2.[探究点二](多选题)某公司的盈利y(单位:元)和时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设>0(x1>x0≥0)恒成立,且=10,=1,则下列关于第10~20天与第0~10天相比较的说法,其中错误的是              (　　)

A.公司已经亏损

B.公司的盈利在增加,增加的幅度变大

C.公司在亏损且亏损幅度变小

D.公司的盈利在增加,增加的幅度变小

3.[探究点二]某婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示,则该婴儿体重在第　　　　年内增长较快. 

4.[探究点三]函数f(x)=x2与g(x)=ln x在区间(1,+∞)上增长较快的是　　　　　　　　. 

5.[探究点二]求y=3x+1在区间[a,a+1]与区间[a+1,a+2]上的平均变化率,并比较它们的大小.

6.[探究点一、二]已知函数f(x)=-x2-3x.

(1)求f(x)在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率;

(2)记A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),判断直线AB与直线BC斜率的相对大小.

B级 关键能力提升练

7.[2023江西南昌高一]集合{x|2x=x100,x∈R}的真子集的个数为(　　)

A.2 B.4 C.6 D.7

8.(多选题)甲、乙、丙、丁四人同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),则下列结论正确的是              (　　)

A.当x>1时,甲走在最前面

B.当x>1时,乙走在最前面

C.当0<x<1时,丁走在最前面;当x>1时,丁走在最后面

D.丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面

9.(多选题)如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象,假设其函数关系为指数函数,现给出下列说法,其中正确的说法有(　　)

A.野生水葫芦的面积每月增长率为1

B.野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时超过1.5个月

C.设野生水葫芦蔓延到10 m2,20 m2,30 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t3<2t2

D.野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度

10.[2023陕西榆林高一]下列说法错误的有　　　　.(填序号) 

①幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快;

②对任意的x>0,都有xa>logax;

③对任意的x>0,都有ax>logax.

11.求出函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,若Δx都为,则f(x)在哪一点附近的平均变化率最大?

C级 学科素养创新练

12.某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制订一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x ,其中哪个模型符合该校的要求?

参考答案

4.5　增长速度的比较

1.B　f(x)=从1到a的平均变化率为,解得a=9.

2.ABC　平均变化率为正说明盈利是增加的,平均变化率变小说明增加的幅度变小了,但还是增加的,故D正确.故选ABC.

3.1　设婴儿在前12个月的体重变化为ΔW1,在第12~24个月体重变化为ΔW2.

∵=0.625,

=0.25,∴,

故第1年内婴儿体重的平均变化率大,婴儿体重增长较快.

4.f(x)=x2　在(1,+∞)上取(a,a+1),则=2a+1,

=ln1+.

因为a≥1,所以2a+1≥3,ln1+≤ln1+=ln2<1,所以,故在区间(1,+∞)上增长较快的为f(x)=x2.

5.解在区间[a,a+1]上,=2×3a.

在[a+1,a+2]上,=2×3a+1=6×3a.

因为=3>1,所以y=3x+1在区间[a+1,a+2]上的平均变化率大于在区间[a,a+1]上的平均变化率.

6.解(1)f(x)=-x2-3x在区间[1,2]上的平均变化率为=(-22-3×2)-(-12-3×1)=-10+4=-6.

f(x)在区间[2,3]上的平均变化率为=(-32-3×3)-(-22-3×2)=-18+10=-8.

(2)∵kAB==-6,kBC==-8,

∴kAB>kBC.

7.D　分析指数函数y=2x与幂函数y=x100图象的增长趋势,当x<0时,显然有一个交点.

若x=1,21>1100;若x=2,22<2100.

故当x∈(1,2)时,有一个交点.

分析数据发现,当x较小时,y=x100比y=2x增长得快;当x较大时,y=2x比y=x100增长得快,所以还有一个交点.

故y=2x与y=x100的图象有三个交点,即集合{x|2x=x100,x∈R}中有3个元素,所以真子集个数为23-1=7.

故选D.

8.CD　路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型.对于A,当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=8,∴该结论不正确;对于B,∵指数型函数的增长速度大于幂函数的增长速度,∴当x>1时,甲总会超过乙的,∴该结论不正确;对于C,根据四种函数的变化特点,结合四个图象的变化情况可知,当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面,∴该结论正确;对于D,结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,∴该结论正确.

9.ABC　由题意得,所求函数为指数函数且过点(1,2),可得函数y=f(x)=2x.

对于A,设第n个月的野生水葫芦面积为f(n),则第n+1个月的野生水葫芦面积为f(n+1),∴野生水葫芦的面积每月增长率=1,故A正确;

对于B,设野生水葫芦从4m2蔓延到12m2历时x个月,=4,x1=2,=12,x2=log212,x=x2-x1=log212-log24=log23,解得x=log23>log22=1.5,故B正确;

对于C,野生水葫芦蔓延到10m2,20m2,30m2所需的时间分别为t1,t1,t3,∴t1+t3=log210+log230=log2300,2t2=2log220=log2400,∴t1+t3<2t2,故C正确;

对于D,野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为=3,野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为=6,故D错误.故选ABC.

10.①②③　对于①,如函数y=和y=2x+1,其图象如图,

由图象知幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快,故①错误;

对于②,当a=时,y=,y=lox的图象如图,

由图象知对任意的x>0,xa>logax不一定正确,故②错误;

对于③,当a=时,y=x,y=lox的图象如图,

由图象知对任意的x>0,ax>logax不一定正确,故③错误.

11.解f(x)=x2在x=1附近的平均变化率k1==2+Δx,在x=2附近的平均变化率k2==4+Δx,在x=3附近的平均变化率k3==6+Δx.

若Δx=,则k1=2+,k2=4+,k3=6+.

∵k1<k2<k3,

∴f(x)在x=3附近的平均变化率最大.

12.解作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在直线y=3和直线y=0.2x的下方,且y=log5x在x∈[5,60]时,恒在直线y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合该校的要求.