高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算课后练习题

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第六章6.1.4　数乘向量　6.1.5　向量的线性运算A级 必备知识基础练1.[探究点四]已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则(　　)A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线2.[探究点三](多选题)在△ABC中,,记=a,=b,则下列结论正确的是(　　)A.(-a-b) B.=-bC.(b-a) D.=a+b3.[探究点一](多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是(　　)A.2a=b B.a∥bC.a=2b D.a∥b且|a|=|b|4.[探究点二·2023河南高一]化简:(2a-b)-3a+b+2(a-2b)=　　　　. 5.[探究点一]在四边形ABCD中,=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为　　　　　. 6.[探究点三]已知点P在线段AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ=　　　　　. 7.[探究点二]已知3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),求x(用a,b,c表示).               B级 关键能力提升练8.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是(　　)A.a=5e1,b=7e1B.a=e1-e2,b=3e1-2e2C.a=e1+e2,b=3e1-3e2D.a=e1-e2,b=3e1-e29.(多选题)[2023吉林高一校考期末]已知A,B,C是三个不同的点,=a-b,=2a-3b,=3a-5b,则下列结论正确的是(　　)A.=2 B.C.=3 D.A,B,C三点共线10.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一句话:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:①=2;②=0;③=2;④S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为(　　)A.1 B.2 C.3 D.411.用向量运算刻画三角形的重心.(1)已知△ABC,求一点G满足=0.(2)求证:满足条件=0的点G是△ABC的重心.       12.如图,在四边形ABCD中,=2.(1)用表示;(2)若=2,用表示.             C级 学科素养创新练13.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.      参考答案6.1.4　数乘向量6.1.5　向量的线性运算1.A　=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线.2.AC　因为=a,=b,所以=-b-a,=-b,所以(-a-b),b-(a+b)=(b-a).故选AC.3.AC　分别表示与a,b同向的单位向量.对于A,当2a=b时,;对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时;对于C,当a=2b时,;对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时.结合选项,使成立的条件是a=2b,2a=b.4.2a-b　(2a-b)-3a+b+2(a-2b)=a-b-a-3b+2a-4b=2a-b.5.等腰梯形　由已知可得=-,所以,且||≠||.又||=||,所以四边形ABCD为等腰梯形.6.　因为||=4||,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此.7.解因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),所以6a-3b+3c+x=-2a+6b,即x=-8a+9b-3c.8.ABD　对于A,a与b显然共线;对于B,因为b=3e1-2e2=6=6a,故a与b共线;对于C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得无解,故a与b不共线;对于D,b=3=3a,所以a与b共线.9.ABD　由题可得=a-2b,=2a-4b,=a-2b,∴=2,故A正确;,故B正确;=2,故C错误;由=2可得∥,故A,B,C三点共线,故D正确.故选ABD.10.D　在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示:对于②,根据三角形的重心性质得=0,②正确;对于①③,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴=2,∴=2=2,①③正确;对于④,过点G作GE⊥BC,垂足为E,则,∴△BGC的面积为S△BGC=BC·GE=BC××AN=S△ABC.同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,④正确.故选D.11.(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的重心,延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图,由向量加法的平行四边形法则,得=2.因为G为△ABC的重心,所以||=2||,故=2,所以=2=0,所以△ABC的重心G满足题意.(2)证明因为=0,所以=-,以GA,GB为邻边作▱GAEB,连接GE,由向量加法的平行四边形法则,得,所以.设AB与GE交于点D,由平行四边形的性质可知D为AB和GE的中点,所以=2,即G在中线CD上,且CG=2GD.同理可证G也在其他两边的中线上,即G是三角形三条中线的交点,所以G为△ABC的重心.12.解(1)因为,所以.(2)因为),所以.13.(1)证明因为=λ+(1-λ),所以=λ-λ=λ-λ,即=λ.又λ∈R,λ≠1,λ≠0且有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)解由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则同向,且||>||(如图所示).所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1,+∞).