人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列课后练习题

第五章5.2　等差数列

5.2.1　等差数列

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]已知等差数列{an}的通项公式为an=90-2n,则这个数列中正数项的个数为(　　)

A.44 B.45 C.90 D.无数

2.[探究点三]在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(　　)

A.12 B.16 C.20 D.24

3.[探究点三]已知数列{an},{bn}均为等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=120,则a37+b37的值为(　　)

A.760 B.820 C.780 D.860

4.[探究点三]若等差数列的前3项依次是,则该数列的公差d是　　　　　. 

5.[探究点三]等差数列{an}中,若a2,a2 022为方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a1 012+a2 023=　　　　. 

6.[探究点二·2023江苏泰州高三期末]写出一个公差不为零,且满足a1+a2-a3=1的等差数列{an}的通项公式an=　　　　　. 

7.[探究点二、三](1)求等差数列8,5,2,…的第20项;

(2)[人教A版教材习题]已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,求a20.

8.[探究点一]已知数列{an}的各项都为正数,前n项和为Sn,且Sn=(an+1)2.

(1)求a1,a2;

(2)求证:数列{an}是等差数列.

B级 关键能力提升练

9.在数列{an}中,a1=5,a2=9.若数列{an+n2}是等差数列,则数列{an}的最大项为(　　)

A.9 B.11 C. D.12

10.(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,则下列能判断数列{an}是等差数列的是(　　)

A.Sn=n

B.Sn=n2+n

C.Sn=2n

D.Sn=n2+n+1

11.在等差数列{an}中,首项为33,公差为整数,若前7项均为正数,第7项以后各项均为负数,则数列的通项公式为　　　　　　　. 

12.[2023山东烟台高二专题练习]已知数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=an-2n,b3=-1,b5=-21,则{an}的公差d为　　　　　. 

13.同时满足下面两个性质的数列{an}的一个通项公式为an=　　　　　. 

①是递增的等差数列;②a2-a3+a4=1.

14.四个数成递增的等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.

15.已知各项均为正数的数列{an}中,a1=,an-an+1=2anan+1.

(1)证明:数列是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

16.已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N+).设bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并分别求an和bn.

C级 学科素养创新练

17.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….

(1)求{an}的通项公式.

(2)135,4m+19(m∈N+)是数列{an}中的项吗?如果是,是第几项?

(3)若as,at(s,t∈N+)是数列{an}中的项,那么2as+3at是数列{an}中的项吗?如果是,是第几项?

5.2.1　等差数列

1.A　令an=90-2n>0,解得n<45.又因为n∈N+,所以数列{an}中正数项的个数为44.

2.B　a2+a10=a4+a8=16.故选B.

3.B　设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2.

因为a1+b1=100,a2+b2=120,

所以d1+d2=120-100=20,

所以a37+b37=a1+b1+36(d1+d2)=100+20×36=820.

故选B.

4.　依题意得2×,解得x=2,经检验,x=2是分式方程的解,则d=.

5.15　∵a2,a2022为方程x2-10x+16=0的两根,

∴a2+a2022=10,∴2a1012=10,即a1012=5,

∴a1+a1012+a2023=3a1012=15.

6.n+1(答案不唯一)　设等差数列{an}的公差为d,则a1+a2-a3=a1+a1+d-a1-2d=a1-d=1,

不妨令d=1,则a1=2,

此时等差数列{an}的通项公式为an=n+1.

7.解(1)设等差数列为数列{an}且其公差为d,则d=5-8=-3,得数列的通项公式为an=-3n+11,所以a20=-49.

(2)设等差数列{an}的公差为d.

由题意,知a1+a3+a5=3a3=105,所以a3=35.由a2+a4+a6=3a4=99,得a4=33,所以d=a4-a3=-2,

所以a20=a3+17d=35+17×(-2)=1.

8.(1)解由已知条件得,a1=(a1+1)2,∴a1=1.

又有a1+a2=(a2+1)2,即-2a2-3=0,

解得a2=-1(舍去)或a2=3.

(2)证明由(1)知a1=1.

当n≥2时,Sn-1=(an-1+1)2,

∴Sn-Sn-1=[(an+1)2-(an-1+1)2]=+2(an-an-1)],即4an=+2an-2an-1,

∴-2an-2an-1=0,

∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0.

∵an>0,∴an+an-1≠0,

∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2),

∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.

9.B　令bn=an+n2.

∵a1=5,a2=9,∴b1=a1+1=6,b2=a2+4=13,

∴数列{an+n2}的公差为13-6=7,

则an+n2=6+7(n-1)=7n-1,

∴an=-n2+7n-1=-n-2+.

又n∈N+,

∴当n=3或n=4时,an有最大值,最大值为-=11.

故选B.

10.AB　对于A,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=1,而a1=S1=1满足上式,

则an=1(n∈N+),数列{an}是常数数列,是等差数列;

对于B,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=S1=2满足上式,

则an=2n(n∈N+),数列{an}是等差数列;

对于C,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,而a1=S1=2不满足上式,

则an=显然a2-a1=0≠2=a3-a2,数列{an}不是等差数列;

对于D,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n,而a1=S1=3不满足上式,

则an=显然a2-a1=1≠2=a3-a2,数列{an}不是等差数列.

故选AB.

11.an=38-5n　设等差数列{an}的公差为d.

由题意可得

即解得-<d<-.

又d∈Z,∴d=-5,

∴an=33+(n-1)×(-5)=38-5n.

12.2　由bn=an-2n得an=bn+2n,则a3=b3+8=-1+8=7,a5=b5+32=-21+32=11,则d==2,所以数列{an}的公差d为2.

13.n-2(答案不唯一)　设等差数列{an}的公差为d,由①可知d>0.

由a2-a3+a4=1,得a3=a1+2d=1.

取d=1,则a1=-1,所以数列{an}的一个通项公式为an=-1+(n-1)=n-2.

14.解设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,

即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.

又四个数成递增的等差数列,

∴d>0,∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.

15.(1)证明由已知得=2,an≠0,=2,

所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列.

(2)解由(1)知,=2+2(n-1)=2n,所以an=.

16.证明∵an=2an-1+2n+1,∴+2(n≥2,n∈N+).

∵bn=,∴bn=bn-1+2(n≥2,n∈N+).

又b1==1,

∴数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,

∴bn=1+(n-1)×2=2n-1,∴an=(2n-1)·2n.

17.解(1)设数列{an}的公差为d.依题意,有a1=3,d=7-3=4,∴an=3+4(n-1)=4n-1.

(2)由(1)可知,{an}的通项公式为an=4n-1.

令4n-1=135,得n=34,∴135是数列{an}的第34项.

∵4m+19=4(m+5)-1,且m∈N+,

∴4m+19(m∈N+)是数列{an}的第(m+5)项.

(3)由(1)可知,{an}的通项公式为an=4n-1.

∵as,at是数列{an}中的项,∴as=4s-1,at=4t-1,

∴2as+3at=2(4s-1)+3(4t-1)=4(2s+3t-1)-1.

∵s,t∈N+,∴2s+3t-1∈N+,∴2as+3at(s,t∈N+)是数列{an}的第(2s+3t-1)项.