高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和课时练习

第五章5.3.2　等比数列的前n项和

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]已知等比数列{an}各项均为正数,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,则=(　　)

A.2 B. C. D.

2.[探究点一 ]已知等比数列{an}中,a1+a4=2,a2+a5=4,则数列{an}的前6项和S6的值为(　　)

A.12 B.14 

C.16 D.18

3.[探究点二]在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1am-1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

4.[探究点一]古希腊哲学家芝诺提出了一个悖论:让阿基里斯和乌龟赛跑,他的速度是乌龟速度的10倍,乌龟在他前面100米爬行,他在后面追,但他不可能追上乌龟.原因是在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯追了100米时,乌龟已在他前面爬行了10米,而当他追到乌龟爬行的10米处时,乌龟又向前爬行了1米,就这样,乌龟总能领先一段距离,不管这个距离有多小,只要乌龟不停地向前爬行,阿基里斯就永远追不上乌龟.试问在阿基里斯与乌龟的竞赛中,当阿基里斯与乌龟相距0.01米时,乌龟共爬行了(　　)

A.11.1米 B.10.1米 C.11.11米 D.11米

5.[探究点一·2023陕西铜川校考一模]设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=13,S6=364,则通项an为(　　)

A.32n-1 B.32n C.3n D.3n-1

6.[探究点一、二](多选题)[2023湖北武汉洪山高级中学高二阶段练习]已知Sn为数列{an}的前n项和,下列说法一定正确的是(　　)

A.若{an}为等差数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等差数列

B.若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等比数列

C.若{an}为等差数列,则为等差数列

D.若{an}为等比数列,则为等比数列

7.[探究点一]已知等比数列{an}的公比为2,前n项和为Sn,若S5=1,则S10=　　　　. 

8.[探究点一]在等比数列{an}中,若an=2n-1,则+…+=　　　　.

9.[探究点三·2023江苏南京高二期末]求和:Sn=1+(1+)+(1+)+(1+)+…+(1++…+)=　　　　　. 

10.[探究点一]已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和.

(1)求an及Sn;

(2)设数列{bn}是首项为2的等比数列,其公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.

11.[探究点三·2023湖南湘潭高三期末]已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b1=1,a2+a3=10,b2b3=-a4.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)设cn=an+bn,求c1+c3+c5+…+c2n-1.

B级 关键能力提升练

12.设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,log2an+1=1+log2an,且a3=4,则S6的值为(　　)

A.128 B.65 C.64 D.63

13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则的值为(　　)

A.2n-1 B.2-21-n

C.2-2n-1 D.21-n-1

14.等比数列{an}的项数为奇数,所有奇数项的和S奇=255,所有偶数项的和S偶=-126,末项是192,则首项a1的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

15.[北师大版教材习题改编]设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,那么a3a6…a30=(　　)

A.210 B.215 C.220 D.216

16.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则的值为(　　)

A. B. C. D.

17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=9,则S16的值为　　　　　. 

18.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N+),则当Tn<2 023时,n的最大值为　　　　　. 

19.设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.

C级 学科素养创新练

20.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1+2Sn-1=3Sn(n≥2).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

5.3.2　等比数列的前n项和

1.C　设等比数列{an}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,

∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,

解得q=-1(舍去)或q=,∴q=,

∴=1+q3=1+.

2.B　设数列{an}的公比为q,则q==2,

∴a1+a4=a1+a1q3=9a1=2,

∴a1=,∴S6==14.

故选B.

3.B　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以am+1am-1=2am=,则am=2.又T2m-1=a1a2…a2m-1=,所以22m-1=512=29,m=5.故选B.

4.C　依题意,乌龟爬行的距离组成等比数列{an},其首项a1=10,公比q=0.1,前n项和为Sn,

所以当an=0.01时,Sn==11.11.

故选C.

5.D　设{an}的公比为q,由题可知q>0,且q≠1.

由题可得解得所以an=a1qn-1=3n-1.

故选D.

6.ABC　A选项,{an}为等差数列,设公差为d,所以S5=5a1+10d,

S10=10a1+45d,S15=15a1+105d,

故S10-S5=5a1+35d,S15-S10=5a1+60d,

因为2(S10-S5)=S5+S15-S10,所以S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,A正确;

B选项,{an}成等比数列,设公比为q,

若q=1,则S5=5a1,S10=10a1,S15=15a1,则S10-S5=5a1,S15-S10=5a1,

故(S10-S5)2=S5(S15-S10),故S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.

若q≠1,则S5=,S10=,S15=,

所以S10-S5=,

S15-S10=,

则=q5,=q5,

故,即S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.

综上,若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10一定为等比数列,B正确;

C选项,{an}为等差数列,设公差为d,

则=a1+2d,=a1+d,=a1+7d,

因为d,d,

故,

则成等差数列,C正确;

D选项,{an}成等比数列,设公比为q.若q=1,则=a1,=a1,=a1,

则为等比数列.

若q≠1,则,

则,

因为(1-q20)(1-q5)=1-q5-q20+q25≠,

所以不为等比数列.

综上,若{an}为等比数列,则不一定为等比数列,D错误.

故选ABC.

7.33　∵S5==31a1=1,∴a1=,

∴S10=×1023=33.

8.(4n-1)　∵an=2n-1,∴=4n-1,即数列{}为以1为首项,4为公比的等比数列,

∴+…+(4n-1).

9.2n+-2　设数列{an}的通项公式为an=1++…+=21-,则Sn为{an}的前n项和,

所以Sn=21-+1-+…+1-=2=2=2n-1-=2n+-2.

10.解(1)设{an}的公差为d,由题可知an=a1+(n-1)d=2n-1,

Sn==n2.

(2)由(1)得a4=7,S4=16.

因为q2-(a4+1)q+S4=0,

即q2-8q+16=0,

所以(q-4)2=0,从而q=4,

所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1,

Tn=(4n-1).

11.解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,

则a2+a3=a1+d+a1+2d=4+3d=10,解得d=2,

∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,

∴b2b3=b1qb1q2=q3=-a4=-8,解得q=-2,

∴bn=b1qn-1=(-2)n-1,

即an=2n,bn=(-2)n-1.

(2)由(1)知{an}为等差数列,{bn}为公比q=-2的等比数列,∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列,b1,b3,b5,…,b2n-1为公比为q2的等比数列.

∵cn=an+bn,∴c1+c3+c5+…+c2n-1=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(b1+b3+b5+…+b2n-1)==2n2+.

12.D　因为log2an+1=1+log2an,

所以log2an+1=log22an,

所以an+1=2an,

所以数列{an}是公比为2的等比数列.

又因为a3=4,所以a1==1,

S6==63.

13.B　设等比数列{an}的公比为q.

∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴=q=2.

又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,∴a1=1.

∴an=a1qn-1=2n-1,

Sn==2n-1,

∴=2-=2-21-n.

故选B.

14.C　设等比数列{an}共有2k+1(k∈N+)项,公比为q,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=S偶+a2k+1=-+192=255,解得q=-2,而S奇==255,解得a1=3.故选C.

15.C　因为a1a2a3…a30=q1+2+…+29=(q145)3,a3a6…a30=q2+5+…+29=q155,

所以a3a6…a30=(a1a2a3…a30q10.

因为a1a2a3…a30=230,q=2,所以a3a6…a30=220.

16.D　设等比数列{an}的公比为q,q≠0.

若q=1,则an=a1,所以Sn=na1,

所以=2,与已知矛盾,

所以q≠1,Sn=,

所以=1+q5=,得q5=-,所以.

故选D.

17.45　设等比数列{an}的公比为q.

因为S4≠0,所以由等比数列前n项和的性质可知,S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列,且公比为=2,

所以S12-S8=3×22=12,S16-S12=3×23=24,

因此S16=S4+(S8-S4)+(S12-S8)+(S16-S12)=3+6+12+24=45.

18.9　∵数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,

∴an=2n-1.

∵数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,

∴bn=2n-1.

∴Tn=c1+c2+…+cn=+…+=a1+a2+a4+…+=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×4-1)+…+(2×2n-1-1)=2(1+2+4+…+2n-1)-n=2×-n=2n+1-n-2.

∵Tn<2023,

∴2n+1-n-2<2023,∴n≤9.

故当Tn<2023时,n的最大值是9.

19.解(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.

由已知得解得

所以{an}的通项公式为an=3n-1.

(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=.

由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.

20.解(1)当n≥2时,Sn+1+2Sn-1=3Sn,即Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1,

即an+1=2an.又{an}是等比数列,∴{an}的公比为2,

∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.

(2)由(1)知,Sn==2n-1,

∴bn=,

∴Tn=b1+b2+…+bn=1-+…+=1-.