高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.2.1导数与函数的单调性精练

第六章6.2　利用导数研究函数的性质

6.2.1　导数与函数的单调性

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是(　　)

2.[探究点二·2023山西吕梁期末]函数f(x)=2ln x-x的单调递增区间为(　　)

A.(-∞,2) B.(-2,2) C.(0,2) D.(2,+∞)

3.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-)∪[,+∞)

B.[-]

C.(-∞,-)∪(,+∞)

D.(-)

4.[探究点三]若函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 

5.[探究点二·2023江苏淮安期末]已知定义在区间(0,π)内的函数f(x)=x-2sin x,则f(x)的单调递增区间为　　　　　. 

6.[探究点三·2023河南新乡长垣月考]若函数f(x)=(x2+mx+1)ex在区间[-1,1]上单调递减,则实数m的取值范围为　　　　　. 

7.[探究点二、三·2023四川成都外国语学校校考阶段练习]已知函数f(x)=x2-ax-2ln x(a∈R).

(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.

B级 关键能力提升练

8.[2023河北张家口期末]已知函数f(x)为偶函数,定义域为R,当x>0时,f'(x)<0,则不等式f(x2-x)-f(x)>0的解集为(　　)

A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(-2,2)

9.[2023山东聊城高二校考阶段练习]设函数f(x)=2x--aln x在(1,2)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)

A.[4,5] B.(5,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞)

10.(多选题)[2023广西梧州龙圩校级期末]已知正实数x,y满足log2x-log2y<()x-()y,则(　　)

A. B.x3<y3

C.ln(y-x+1)>0 D.2x-y<

11.(多选题)已知定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则(　　)

A.f 

B.>f

C.f 

D.

12.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=　　　　. 

13.已知f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)内单调递减,则实数b的取值范围是　　　　　. 

14.已知函数y=f(x)的定义域为,且y=f(x)的图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<0的解集是　　　　　　　　. 

15.[2023江苏苏州模拟改编]已知函数f(x)=(x+1)ln x-2(x-1),讨论f(x)的单调性.

16.[2023重庆高二月考]已知函数f(x)=x-(a+2)ln x-(a>0).

(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,求切线l的方程;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

C级 学科素养创新练

17.[2023重庆渝中校级一模]已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,且f(2)=0,则不等式f(x)>0的解集为　　　　　　　. 

6.2.1　导数与函数的单调性

1.D　根据导函数图象,y=f(x)的单调递增区间为(-3,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.

2.C　f'(x)=-1=,令f'(x)>0,则x<2,又x>0,

所以0<x<2,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,2).

故选C.

3.B　f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)内恒成立,且不恒为0,

则Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.

4.-∞,　f(x)=(-x2+ax)ex,则f'(x)=ex(-x2+ax-2x+a),

函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)内存在单调递减区间,

只需-x2+ax+a-2x≤0在区间(-1,1)内有解,

记g(x)=-x2+(a-2)x+a,其图象的对称轴为直线x=,开口向下,

g(-1)=-1-(a-2)+a=1>0,

只需g(1)<0,

所以-1+a-2+a<0,解得a<.

5.,π　已知函数f(x)=x-2sinx,

则f'(x)=-2cosx.

令f'(x)≥0,

即cosx≤,

又x∈(0,π),

则≤x<π,

即f(x)的单调递增区间为,π.

6.(-∞,-2]　f'(x)=[x2+(m+2)x+m+1]ex=(x+m+1)(x+1)ex.

由题意得f'(x)=(x+m+1)(x+1)ex≤0在[-1,1]上恒成立.

因为(x+1)ex≥0,所以x+m+1≤0在[-1,1]上恒成立,

即m≤-x-1在[-1,1]上恒成立.

设g(x)=-x-1,x∈[-1,1],只需m≤g(x)min,易知g(x)=-x-1在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=-2,

所以m≤-2,即m的取值范围是(-∞,-2].

7.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=x2-x-2lnx,

求导得f'(x)=x-1-,整理,得f'(x)=.

令f'(x)>0,得x>2,令f'(x)<0,得0<x<2.

从而,函数f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).

(2)由题意知当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即x-a-≥0恒成立,即a≤x-恒成立.

设g(x)=x-(x≥1),由g'(x)=1+>0,知g(x)在[1,+∞)内单调递增,所以g(x)min=g(1)=-1.

从而a≤g(x)min,即a≤-1.

所以实数a的取值范围是(-∞,-1].

8.B　因为当x>0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,

又函数f(x)是偶函数,所以当自变量取值的绝对值越小时,函数值越大.

由f(x2-x)-f(x)>0,得f(x2-x)>f(x),

所以|x2-x|<|x|,显然x≠0,所以可化简为|x-1|<1,则-1<x-1<1,即0<x<2,所以不等式的解集是(0,2).

故选B.

9.D　因为函数f(x)=2x--alnx在(1,2)内单调递减,所以f'(x)=2+≤0在(1,2)内恒成立,

所以a≥2x+在(1,2)内恒成立.设函数h(x)=2x+,则h'(x)=2-,

所以h'(x)>0在(1,2)内恒成立,所以h(x)在(1,2)内单调递增,所以h(x)<h(2)=5,所以a≥5,

则实数a的取值范围是[5,+∞).

故选D.

10.BC　根据题意,设f(x)=log2x-x,x∈(0,+∞),

函数y=log2x和函数y=-x在(0,+∞)内都是增函数,则函数f(x)在(0,+∞)内为增函数.

若log2x-log2y<x-y,则有log2x-x<log2y-y,即f(x)<f(y),故有0<x<y,

由此分析选项:

对于A,若0<x<y,有,A错误;

对于B,若x<y,必有x3<y3,B正确;

对于C,x<y,则有y-x+1>1,必有ln(y-x+1)>0,C正确;

对于D,x<y,则x-y<0,则2x-y<1,D错误.

故选BC.

11.CD　设g(x)=,

则g'(x)=,

因为x∈时,cosxf'(x)+sinxf(x)<0,所以x∈时,g'(x)=<0,

因此g(x)在内单调递减,

所以g>g,g>g,

即,

即f,

即.

故选CD.

12.-12　由题意f'(x)=3x2+2bx+c,

所以3x2+2bx+c=0的两根为-1和3,

所以

所以b=-3,c=-9,b+c=-12.

13.(-∞,-1]　由题意,可知f'(x)=-x+≤0在x∈(-1,+∞)内恒成立,

即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)内恒成立,

令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),

∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,

故实数b的取值范围为(-∞,-1].

14.∪(0,1)　当x<0时,y=f(x)在内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0不成立;

当x>0时,y=f(x)在(0,1)内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;

y=f(x)在(1,3)内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,

所以x·f'(x)<0的解集是-,-∪(0,1).

15.解由f(x)=(x+1)lnx-2(x-1),求导可得,f'(x)=lnx+(x+1)-2=lnx+-1,

令g(x)=f'(x)=lnx+-1,则g'(x)=,

令g'(x)<0,解得0<x<1,则g(x)在(0,1)内单调递减,

令g'(x)>0,解得x>1,则g(x)在(1,+∞)内单调递增,

所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时等号成立,

所以f'(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立,

故f(x)在(0,+∞)内单调递增.

16.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

由f(x)=x-(a+2)lnx-(a>0),得f'(x)=1-(a>0),

因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,

所以f'(1)=1,即1-(a+2)+2a=1,解得a=2.

所以f(x)=x-4lnx-,所以f(1)=-3,

所以f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y+3=x-1,

即x-y-4=0.

(2)f'(x)=1-,x∈(0,+∞),

令f'(x)=0,则x=2或x=a.

当a=2时,f'(x)=≥0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;

当a>2时,当x>a或0<x<2时,f'(x)>0,当2<x<a时,f'(x)<0,

所以函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;

当0<a<2时,当x>2或0<x<a时,f'(x)>0,当a<x<2时,f'(x)<0,

所以函数f(x)在(0,a)和(2,+∞)内单调递增,在(a,2)内单调递减,

综上所述,当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;

当a>2时,函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;

当0<a<2时,函数f(x)在(0,a)和(2,+∞)内单调递增,在(a,2)内单调递减.

17.(-2,0)∪(2,+∞)　设g(x)=x2f(x),x∈R.

∵f(x)为R上的奇函数,

∴易得g(x)为R上的奇函数.

∵g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],

又当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,

∴当x>0时,g'(x)>0,

∴g(x)在(0,+∞)内单调递增,又g(x)为R上的奇函数,

∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,g(0)=0.

又g(2)=4f(2)=0,∴g(-2)=-g(2)=0.

作出g(x)的简图如下:

数形结合可得g(x)=x2f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞),

∴f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).