高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题测试题

第六章6.3　利用导数解决实际问题

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)(　　)

A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18

2.[探究点三]现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为(　　)

A.20π B.24π C.28π D.32π

3. [探究点三·2023山西高二月考]一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则围成的四棱锥的体积的最大值为(　　)

A. B. C.5 D.15

4.[探究点一]根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2(x-50)2,其中20<x<50.已知该商品的成本为20元/件,则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为(　　)

A.8 600元 B.8 060元

C.6 870元 D.4 060元

5.[探究点三]已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是(　　)

A.1 B. C. D.2

6.[探究点二]已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以　　　　千米/时的速度运行时,成本最省. 

7.[探究点一]某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+5(x-6)2,其中3<x<6,当销售价格为　　　　　元时,商场每日销售该商品所获得的最大利润为　　　　　元. 

8.[探究点二·北师大版教材习题]某体育馆要建造一个长方形游泳池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍,怎样设计水池能使总造价最低?

B级 关键能力提升练

9.(2023四川宜宾高县校级期中)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1千克藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万千克;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万千克,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕(　　)

A.8万千克 B.6万千克

C.3万千克 D.5万千克

10. 如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10 m,AB=8 m的仓库,则当总造价最低时,PO=(　　)

A. m B. m

C.4 m D.4 m

11.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为　　　　元时利润最大,利润的最大值为　　　　元. 

12.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是　　　　　. 

13.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=为使公司获得最大利润,则应将年产量定为　　　　　　千件.(注:年利润=年销售收入-年总成本) 

14.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为　　　　　. 

15. [2023江苏盐城月考]某房地产商建有三栋楼宇A,B,C,三栋楼宇间的距离都为2千米,拟准备在此三栋楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计.

 (1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;

(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设鹅卵石路AE和防腐木路DE,如图,已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位:元/千米,a为常数).记∠BDE=θ,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值.

16.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.

(1)写出年利润p(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)

(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3≈20)

C级 学科素养创新练

17.为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27 cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).

(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;

(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?

6.3　利用导数解决实际问题

1.A　要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L'=2-.令L'=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为=32(米),可使L最短.

2.B　由题意可得圆柱和圆锥的体积相等,底面半径为4,高为3的圆锥的体积为×π×42×3=16π,底面半径为r,高为h的圆柱的体积为πr2h,所以πr2h=16π,可得r2h=16,即h=,圆柱的表面积为S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·=2πr2+,S'=4πr-,令S'=>0可得r>2,令S'=<0可得0<r<2,所以当r=2时,该圆柱表面积最小为S=2π×22+=24π,故选B.

3.A　设四棱锥为P-ABCD,如下图所示.

设四棱锥的高为PO,取边BC的中点M.

设四棱锥底面正方形边长的一半为x,则侧面等腰三角形的腰长PB==5-x,所以0<x<5,

所以PM2=(5-x)2-x2.

在直角三角形PMO中,OM=x,所以四棱锥的高PO=,

所以VP-ABCD=·(2x)2·.

设f(x)=-x6-10x5+25x4(0<x<5),

则f'(x)=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),

令f'(x)=0,可得x=-10(舍去)或x=.

当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0.

所以函数f(x)在内单调递增,在内单调递减,

所以当x=时,f(x)取到最大值,即当x=时,VP-ABCD取到最大值,此时VP-ABCD=.

故选A.

4.B　设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20)+2(x-50)2=60+2(x-20)(x-50)2,20<x<50,f'(x)=2[(x-50)2+2(x-50)·(x-20)]=6(x-30)(x-50),令f'(x)>0,得20<x<30,则f(x)在(20,30)内单调递增;令f'(x)<0,得30<x<50,则f(x)在(30,50)内单调递减,所以f(x)的最大值为f(30)=8060.故选B.

5.A　如图,

△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=a,OA=OP=3,

设OE=x(0<x<3),

则由AO2=OE2+AE2,得x2+a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2x2,

V=S四边形ABCD·PE=(18-2x2)(3+x)=(-x3-3x2+9x+27),

V'=(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),当0<x<1时,V'>0,V单调递增,当1<x<3时,V'<0,V单调递减,

∴当x=1时,V取得极大值也是最大值,即Vmax=.

此时高PE=4,a==4,=1.故选A.

6.　由已知机车以速度v匀速运行,设甲、乙两站相距s千米,总成本为y元,

则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=,

∴y=(m+kv2)=skv+,

求导,得y'=sk-,令y'=0,得v=,

函数在0,内单调递减,在,+∞内单调递增,则v=为极小值点,∴当v=时,y有最小值.

7.4　21　设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(3<x<6),则L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)=15(x-4)(x-6),

令L'>0,得3<x<4;

令L'<0,得4<x<6,

所以函数L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)内单调递增,在(4,6)内单调递减,

所以x=4时,L取得最大值,最大值为21元.

8.解设池底的长为xm,则它的宽为m,水池总造价为y.不妨设建造池壁的单价为1,则建造池底的单价为1.5.则有y=1600×1.5+6x+6×=2400+6x+,

其中x>0.

所以y'=6-.令y'=0,得x=40,

所以当x∈(0,40)时,y'<0,当x∈(40,+∞)时,y'>0,

当x=40时,函数取得最小值,最小值为2880.

即当水池池底的长、宽均为40m时,总造价最低.

9.B　设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-x3+ax2+x-1-x,x∈(0,8],

即g(x)=-x3+ax2-1.当x=2时,g(2)=-1+a-1=,解得a=2,故g(x)=-x3+x2-1,g'(x)=-x2+x=-x(x-6),

当x∈(0,6)时,g'(x)>0;当x∈(6,8)时,g'(x)<0.

所以函数g(x)在(0,6)内单调递增,在(6,8)内单调递减,

所以x=6时,利润最大,故选B.

10.B　如图,

设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.

由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.

在Rt△POE中,设∠PEO=θ,则有PO=4tanθ,PE=,

所以上部屋顶面积为S=4S△PBC=,下部主体的高度为h=10-4tanθ,

所以仓库的总造价为y=S·k+h·8k=32k·+80k.

设f(θ)=0<θ<,所以f'(θ)=.

令f'(θ)=0,得sinθ=,所以θ=.

则当0<θ<时,f'(θ)<0,f(θ)在0,内单调递减;

当<θ<时,f'(θ)>0,f(θ)在内单调递增;

所以当θ=时,f(θ)有最小值,此时总造价最低,PO=m.

11.30　23 000　设该商品的利润为y元,由题意知,

y=Q(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,

则y'=-3p2-300p+11700,

令y'=0得p=30或p=-130(舍),

当p∈(0,30)时,y'>0,当p∈(30,+∞)时,y'<0,

因此当p=30时,y有最大值,ymax=23000.

12.　设CD=x,则点C的坐标为,

点B的坐标为,

∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·=-+x,x∈(0,2).由f'(x)=-x2+1=0,

得x1=-(舍),x2=,

∴x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,

故当x=时,f(x)取最大值.

13.25　设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)=

当0<x≤10时,W'(x)=3.6-,

所以W(x)在(0,6)内单调递增,在(6,10]上单调递减,最大值为W(6)=3.6×6--5=9.4(万元).

当x>10时,W(x)=190--3x=190-+3x≤190-2=190-2×75=40,

当且仅当=3x,即x=25时,等号成立.

综上所述,当x=25千件时,年利润最大.

14.6　设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,

∴AB=a,SO=h.

∵SO⊥底面ABC,AB⊂底面ABC,

∴AB⊥SO,SO⊥OD.

又AB⊥OD,SO∩OD=O,

∴AB⊥平面SOD.

又SD⊂平面SOD,

∴AB⊥SD,

即SD为△SAB的高,三棱锥体积×a2×h,得a2h=12,

又O为底面中心,∴OD=ABsin60°=a,SD=,

三棱锥的表面积S=a2+3××a×a2+,将a2=代入得S==3.

∴S'=3,令S'=0,得h3-2-2=0,令=t(t>0),上式可化为t2-2t-3=0,解得t=3,或t=-1(舍),

∴=3,得h=2.

当0<h<2时,S'<0,当h>2时,S'>0,

故S在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=3=6.

15.解(1)由题意知,在△BCD中,BC=2,∠BDC=,由余弦定理知BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos,整理得BD2+CD2+BD·CD=4,

则4=BD2+CD2+BD·CD≥3BD·CD,

即BD·CD≤,当且仅当BD=CD=时,等号成立.

所以△BCD的面积S△BCD=BD·CDsinBD·CD≤,即△BCD面积的最大值为.

设△ABC的面积是S△ABC.显然S△ABC=×22=.

因为四边形ABDC的面积S=S△ABC+S△BCD,

所以四边形ABDC的面积的最大值为.

答:四栋楼宇围成的四边形区域ABDC的面积的最大值为平方千米.

(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,

由(1)知BD=DC=.

则∠DBC=∠DCB,又因为∠BDC=,

所以∠DBC=.

因为三角形ABC为等边三角形,

所以∠ABC=,所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=.

在直角三角形EBD中,∠BDE=θ,所以DE=.

BE=BDtan∠BDE=tanθ,则AE=AB-BE=2-tanθ.

所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用为f(θ)=a·AE+2a·DE=a+2a·.

f'

=

=.

令f'(θ)=0,得sinθ=,

因为θ∈,所以θ=.

当0≤θ<时,f'(θ)<0,f(θ)单调递减,当<θ≤时,f'(θ)>0,f(θ)单调递增.

所以当θ=时,f(θ)极小值=f=4a.

所以f(θ)的最小值为4a.

答:铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.

16.解(1)已知每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.

依题意,得当0<x<7时,p(x)=6x-x2-2x-2=-x2+4x-2;

当x≥7时,p(x)=6x-6x+lnx+-17-2=15-lnx-.∴p(x)=

(2)当0<x<7时,p(x)=-(x-6)2+10,

∴当x=6时,p(x)的最大值为p(6)=10(万元).

当x≥7时,p(x)=15-lnx-,

∴p'(x)=-,

∴当7≤x<e3时,p(x)单调递增,当x≥e3时,p(x)单调递减,∴当x=e3时,p(x)取最大值p(e3)=15-lne3-1=11(万元).

∵11>10,∴当x=e3≈20时,p(x)取得最大值11万元,即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.

17.解设三棱柱的底面边长为xcm,即A1C=x,

则A1A=27-x.

因为△ABC为等边三角形,

所以三棱柱的高为×(27-x)=(27-x).

(1)因为三棱柱的底面积为×x×x×x2,

侧面积为3×x×(27-x)=(27x-x2),

所以x2=(27x-x2),

解得x=18或x=0(舍去).

即三棱柱的底面边长为18cm.

(2)三棱柱的体积V=x2×(27-x)=(27x2-x3).因为x>0,(27-x)>0,所以0<x<27.

因为V'=(54x-3x2)=x(18-x),

所以当0<x<18时,V'>0,V单调递增;

当18<x<27时,V'<0,V单调递减.

所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,

Vmax=(27×182-183)=.

即当底面边长为18cm时,三棱柱的体积最大,最大值为cm3.