新教材2023_2024学年高中数学第六章导数及其应用测评新人教B版选择性必修第三册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第六章导数及其应用测评新人教B版选择性必修第三册，共12页。

第六章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023天津河东校级期末]已知函数f(x)=x2+2,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知函数f(x)=2x+3f'(0)·ex,则f'(1)=(　　)
A.e B.3-2e C.2-3e D.2+3e
3.曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(　　)
A.(1,0)
B.(2,8)
C.(1,0)或(-1,-4)
D.(2,8)或(-1,-4)
4.[2023河南长垣月考]已知函数f(x)满足f(x)=2f'(1)ln x+(f'(x)为f(x)的导函数),则f(e)=(　　)
A.e-1 B.+1
C.1 D.-+1
5.[2023重庆永川校级月考]函数f(x)=x3-ax在区间[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
6.已知x=2是f(x)=2ln x+ax2-3x的极值点,则f(x)在,3上的最大值是(　　)
A.2ln 3- B.-
C.-2ln 3- D.2ln 2-4
7.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),若满足f(x)+xf'(x)>1,则下列结论:①f(-1)>0;②f(1)<0;③2f(-2)>f(-1);④2f(1)>f.其中正确的个数是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
8.定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,其中f'(x)是f(x)的导函数.若f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,] B.(0,)
C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.[2023重庆永川校级月考]下列求导运算错误的是(　　)
A.(3x)'=3xln 3
B.x+'=1+
C.(cos x)'=sin x
D.(e2x)'=e2x
10.如果函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下述结论正确的是(　　)

A.函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增
B.当x=-时,函数y=f(x)有极大值
C.函数y=f(x)在区间(1,2)内单调递增
D.当x=2时,函数y=f(x)有极大值
11.已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则(　　)
A.f(x)的极大值为0
B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)在定义域内单调
12.[2023湖北模拟]设函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)没有零点
B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有且仅有两个极值点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.[2023广西北海一模]函数y=ex-e2x的单调递增区间为　　　　　. 
14.某产品的销售收入y1(单位:万元)与产量x(单位:千台)的函数关系是y1=17x2,生产成本y2(单位:万元)与产量x(单位:千台)的函数关系是y2=2x3-x2,已知x>0,为使利润最大,应生产　　　　　千台. 
15.根据函数f(x)=sin 2x在原点(0,0)处的切线方程,请你写出与函数f(x)=sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数:　　　　　　　　. 
16.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.















18.(12分)设函数f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.










19.(12分)[2023江苏常熟期中]已知函数f(x)=xln x-ax+1在x=e2处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)<2c2-c在x∈[1,e3]上恒成立,求实数c的取值范围.





















20.(12分)[2023浙江宁波期中]已知函数f(x)=ex-ax.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.











21.(12分)[2023江苏南京鼓楼校级期中]现有一块不规则的场地,其平面图形如图1所示,AC=8(百米),建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB看成函数f(x)=k图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分,在此场地上建立一座图书馆,平面图为直角梯形CDEF(如图2).

图1

图2
(1)求折线ABC的函数关系式;
(2)求图书馆CDEF占地面积的最大值.












22.(12分)[2023河北唐山古冶校级月考]已知函数f(x)=aln x-x(a∈R).
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)在其定义域内有两个不同的零点,求实数a的取值范围.






第六章测评
1.A　∵f(3)=11,f(1)=3,
∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为=4.
故选A.
2.C　由题意f'(x)=2+3f'(0)·ex,
所以f'(0)=2+3f'(0),
所以f'(0)=-1,
所以f'(x)=2-3ex,
所以f'(1)=2-3e.
故选C.
3.C　依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C.
4.D　f'(x)=,
∴f'(1)=2f'(1)+,
∴f'(1)=-,f(x)=-lnx+,
∴f(e)=-+1.
故选D.
5.B　因为函数f(x)=x3-ax在区间[0,1]上单调递减,所以f'(x)=3x2-a≤0在区间[0,1]上恒成立,
故a≥3x2在区间[0,1]上恒成立,
所以a≥3.
故选B.
6.A　由题意f'(x)=+2ax-3且f'(2)=0,
解得a=,则f'(x)=+x-3=.
∴当1 当x<1或x>2时,f'(x)>0.
∴在区间,1,(2,3]上,f(x)单调递增;在区间(1,2)内,f(x)单调递减.
∵f(3)=2ln3->f(1)=-,∴f(x)在,3上的最大值是2ln3-.
故选A.
7.B　令h(x)=xf(x)-x,
则h'(x)=xf'(x)+f(x)-1.
因为函数f(x)满足f(x)+xf'(x)>1,
所以h'(x)>0,
所以h(x)在R上是增函数.
因为h(-1)=-f(-1)+1 所以f(-1)>1>0,故①正确.
因为h(1)=f(1)-1>h(0)=0,
所以f(1)>1,故②错误.
因为h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1>f(-1),故③正确.
因为h(1)=f(1)-1>h=f-,
所以2f(1)>f+1>f,故④正确.
故选B.
8.C　因为f'(x)=1+,故f(x)=x+lnx+C,其中C为常数.
因为f(1)=2,
所以C=1,
即f(x)=x+lnx+1.
不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1≥(a+1)x+1,即≥a在(0,+∞)内有解.
令g(x)=,则g'(x)=,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)内单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)内单调递减.
故g(x)max=g(e)=,所以0 9.BCD　对于A,(3x)'=3xln3,故A正确;
对于B,x+'=1-,故B错误;
对于C,(cosx)'=-sinx,故C错误;
对于D,(e2x)'=2e2x,故D错误.
故选BCD.
10.CD　当x∈(-∞,-2)时,函数f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,函数f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,函数f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,函数f(x)单调递增.
因此当x=-2时,函数f(x)取极小值,当x=2时,函数f(x)取极大值;当x=4时,函数f(x)取极小值.结合选项易知,A,B错误,C,D正确,故选CD.
11.BC　f(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-(x3-1).
令f'(x)=(x3-1)=0,得x=1.
当x变化时,f(x),f'(x)变化情况如下表:

x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值0
↗

所以f(x)的极小值也是最小值,最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,
故C正确,A,D错误;
对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,得y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y-0=0(x-1),即y=0,
故B正确.
故选BC.
12.BC　函数f(x)=的定义域为(0,+∞),f'(x)=.
令h(x)=-lnx,则h'(x)=-=-<0(x>0),
所以函数h(x)在(0,+∞)内单调递减.
又h(1)=1>0,h(e)=-1<0,
所以存在x0∈(1,e),使得h(x0)=0,即函数h(x)有唯一零点x0,且=lnx0.
当x∈(0,x0)时,h(x)>0,即f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故C正确;
当x∈(x0,+∞)时,h(x)<0,即f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x0为函数f(x)的极大值点,无极小值点,
即f(x)有且仅有一个极值点,故D错误;
所以f(x)max=f(x0)=>0,
又f=<0,所以函数f(x)在,x0内存在一个零点,故A错误;
当x∈(0,1)时,lnx<0,ex>0,
所以f(x)=<0,
即当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方,故B正确.
故选BC.
13.[2,+∞)　由题得y'=ex-e2≥0,可得x≥2.
故函数的单调递增区间为[2,+∞).
14.6　由题意,利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0).
y'=36x-6x2,
由y'=36x-6x2=6x(6-x)=0,得x=6(x>0),
当x∈(0,6)时,y'>0,当x∈(6,+∞)时,y'<0.
∴函数在(0,6)内为增函数,在(6,+∞)内为减函数.则当x=6时,y有最大值为144.
故答案为6.
15.y=x2+2x(答案不唯一)　由f(x)=sin2x,得f'(x)=2cos2x,所以函数f(x)在原点(0,0)处的切线斜率为k=f'(0)=2.
因此函数f(x)在原点(0,0)处的切线方程为y=2x.
与函数f(x)=sin2x在原点处具有相同切线的一个函数只需要满足函数过原点且在原点(0,0)处的导数值为2.
由于y=x2+2x,且y'=2x+2,所以函数y=x2+2x在原点(0,0)处的切线方程为y=2x(答案不唯一).
16.　当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,即x3+3ax2+3x+1≥0,
即x+≥-3a.
令g(x)=x+,
则g'(x)=.
令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)·(x-1),易知h'(x)≥0在x∈[2,+∞)内恒成立,
∴h(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,
∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,+∞)内恒成立,
∴g'(x)≥0在x∈[2,+∞)内恒成立,g(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,
∴g(x)的最小值为g(2)=,-3a≤g(2)=,
解得a≥-.
17.解(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=6x2+2ax+b.
从而f'(x)=6+b-,
即y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3.
又因为f'(1)=0,
即6+2a+b=0,
解得b=-12.
所以,实数a,b的值分别为3,-12.
(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).
令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.
解得x1=-2,x2=1.
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内是增函数;
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内是减函数;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内是增函数;
从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.
18.解(1)因为f(x)=alnx+x+1,故f'(x)=.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-lnx+x+1(x>0),f'(x)=-,
令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-因x2=-不在定义域内,舍去,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,
故f(x)在(0,1)内单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.
19.解(1)f'(x)=lnx+1-a,
由题意得f'(e2)=3-a=0,
所以a=3,此时f'(x)=lnx-2.
易得x>e2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,0 故函数f(x)在x=e2处取得极小值,符合题意,
故函数f(x)的单调递增区间为[e2,+∞),单调递减区间为(0,e2).
(2)因为f(x)=xlnx-3x+1<2c2-c在x∈[1,e3]上恒成立,
所以xlnx-3x+1-2c2+c<0在x∈[1,e3]上恒成立,
令g(x)=xlnx-3x+1-2c2+c,x∈[1,e3],
则g'(x)=lnx-2,
当x>e2时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,当0 故g(x)在[1,e2]上单调递减,在[e2,e3]上单调递增,
又g(1)=-2c2+c-2,g(e3)=-2c2+c+1,
故g(x)max=g(e3)=-2c2+c+1,
所以-2c2+c+1<0,
解得c>1或c<-,
故c的取值范围为.
20.解(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a,
①当a≤0,f'(x)>0恒成立,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
②当a>0时,令f'(x)>0,得x>lna,则f(x)的单调递增区间为(lna,+∞),
令f'(x)<0,得x 则f(x)的单调递减区间为(-∞,lna).
综上所述,当a≤0,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调递增区间为(lna,+∞),f(x)的单调递减区间为(-∞,lna).
(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,即x∈(0,+∞)时,a≤恒成立.
设g(x)=,
则g'(x)=,
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
则g(x)min=g(1)=e,则a≤e,
即实数a的取值范围是(-∞,e].
21.解(1)由题图2可知,直线AB过点B(4,4),
所以4=k,解得k=2,
所以曲线AB的方程为f(x)=2(0≤x≤4).
设函数BC的解析式为y=ax+b,由直线过点B(4,4),C(8,0),得
解得
所以BC的解析式为y=-x+8(4 (2)设D(t,0),
则0 所以yE=2,
又yF=yE=2,
所以2=-xF+8,得xF=8-2,
则EF=8-2-t,又DC=8-t,DE=2,
所以S梯形CDEF=DE(EF+DC)=×2(8-2-t+8-t)=-2-2t+16,
设g(t)=-2-2t+16(0 令g'(t)=0,得t=,当00,函数g(t)单调递增,
当 所以g(t)max=g=,即梯形CDEF的面积的最大值为平方米.
22.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f(x)=alnx-x(a∈R),
∴f'(x)=-1=.
①当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)内恒成立,
即函数y=f(x)的单调递减区间为(0,+∞).
②当a>0时,f'(x)=0,
解得x=a,
当x∈(0,a)时,f'(x)>0,
∴函数y=f(x)的单调递增区间为(0,a),
当x∈(a,+∞)时,f'(x)<0,
∴函数y=f(x)的单调递减区间为(a,+∞).
综上可知:①当a≤0时,函数y=f(x)的单调递减区间为(0,+∞);
②当a>0时,函数y=f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞).
(2)由(1)知,当a≤0时,函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递减,
∴函数y=f(x)至多有一个零点,不符合题意;
当a>0时,函数y=f(x)在(0,a)内单调递增,在(a,+∞)内单调递减,
∴f(x)max=f(a)=alna-a.
又函数y=f(x)有两个零点,
∴f(a)=alna-a=a(lna-1)>0,
∴a>e.
又f(1)=-1<0,
∴∃x1∈(1,a),使得f(x1)=0.
f(a2)=alna2-a2=a(2lna-a),
设g(a)=2lna-a,则g'(a)=-1=.
∵a>e,
∴g'(a)<0,
∴函数g(a)在(e,+∞)内单调递减,
∴g(a) 即f(a2)<0.
∴∃x2∈(a,a2),使得f(x2)=0.
综上可知,实数a的取值范围为(e,+∞).