人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算第二课时课时练习

第一章第2课时　空间向量的数量积

A级 必备知识基础练

1. [探究点二(角度1)]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是(　　)

A.

B.

C.

D.

2.[探究点一]已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于(　　)

A.12 B.8+ C.4 D.13

3.[探究点二(角度2)]已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)

A.-6 B.6 C.3 D.-3

4.[探究点一·2023山东潍坊高二阶段练习](多选题)下列说法一定正确的是(　　)

A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面

B.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c一定不共面

C.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·a

D.设a,b,c是三个空间向量,则(a·b)c=a(b·c)

5.[探究点二(角度1)]已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=　　　　　. 

6.[探究点二(角度1)]已知空间向量a,b,c中两两夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　　　　　. 

7.[探究点一、二(角度1)·北师大版教材例题]如图,已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是边长为1的菱形,且∠C'CB=∠C'CD=∠BCD=,DD'=2,求:

(1);(2)·();(3)||.

B级 关键能力提升练

8.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC一定是(　　)

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

9.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为(　　)

A.-13 B.-5 C.5 D.13

10.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a与b的夹角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

11.已知空间向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,若m⊥n,则λ的值为　　　　　. 

12. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则的夹角的大小为　　　　　,=　　　　　. 

13.已知a,b是空间中相互垂直的单位向量,且|c|=5,c·a=c·b=2,则|c-ma-nb|的最小值是　　　　　. 

14. [人教A版教材习题]如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a.

 (1)求A'B和B'C所成的角;

(2)求证:A'B⊥AC'.

第2课时　空间向量的数量积

1.A

2.D　(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|·cos120°=2×4-2×5×(-)=13.故选D.

3.B　由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,

所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,

所以2k-12=0,

所以k=6.故选B.

4.AC　对于A,两个空间向量一定共面,故A正确;

对于B,三个空间向量可能共面也可能不共面,故B错误;

对于C,因为a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,故C正确;

对于D,因为a,b,c是三个空间向量,则a(b·c)与向量a共线,(a·b)c与向量c共线,两向量不一定相等,故D错误.

故选AC.

5.22　∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,

∴2a·b=46,∴|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22.

6.10　∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=,

∴|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|·cos<a,b>+2|a||c|·cos<a,c>+2|b||c|·cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,

∴|a+b+c|=10.

7.解(1)因为∠D'DA=∠C'CB=,

所以=||||cos∠D'DA=1.

(2)因为,

而=||||cos∠C'CD=1,=||||cos∠C'CB=1,

所以·()==1-1=0.

(3)||

=

=

=.

8.B　因为-2=()+()=,

所以(-2)·()=()·()=||2-||2=0,所以||=||,即△ABC一定是等腰三角形.故选B.

9.A　∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,

∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,

∴a·b+b·c+c·a=-=-13.故选A.

10.C　设a与b的夹角为θ,由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以1+2×1×2cosθ+4=7,解得cosθ=.又θ∈[0,π],所以θ=60°.

故选C.

11.-　因为m⊥n,所以m·n=0,故(a+b)·(a+λb)=0,

所以a2+(λ+1)a·b+λb2=0,即18+(λ+1)×15×(-)+25λ=0,故λ=-.

12.60°　1　连接A1D(图略),则∠PA1D就是的夹角.连接PD(图略),在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=,即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,即的夹角的大小为60°,因此×cos60°=1.

13.3　因为a,b互相垂直,所以a·b=0,

所以|c-ma-nb|2=c2+m2a2+n2b2-2ma·c-2nb·c+2mna·b=25+m2+n2-4m-4n=+9,

当且仅当m=n=2时,|c-ma-nb|2取得最小值,最小值为9,则|c-ma-nb|的最小值为3.

14.(1)解设=a,=b,=c.

∵正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,

∴|a|=|b|=|c|=a,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=.

∵=a-c,=b-c,

∴=(a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+c2=0-0-0+a2=a2.

又||=a,||=a,

∴cos<>=.

又<>∈[0,π],∴<>=,

∴A'B与B'C所成的角为.

(2)证明由(1)知=a-c,=a+b+c,

∴=(a-c)·(a+b+c)=a2+a·b+a·c-c·a-c·b-c2=a2+0+0-0-0-a2=0,∴,

∴A'B⊥AC'.