高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角测试题

第一章1.2.4　二面角

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,且<a,b>=,则二面角α-l-β的大小为(　　)

A. B.

C. D.

2.[探究点二]已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

3.[探究点二·2023天津高二阶段练习]直线l的方向向量为a,两个平面α,β的法向量分别为n,m,则下列命题为假命题的是(　　)

A.若a⊥n,则直线l∥平面α

B.若a∥n,则直线l⊥平面α

C.若cos<a,n>=,则直线l与平面α所成角的大小为

D.若cos<m,n>=,则平面α,β所成锐角的大小为

4.[探究点二·2023山东潍坊高二阶段练习](多选题)下列说法不正确的是(　　)

A.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为,则直线l与平面α所成的角为

B.两条异面直线所成的角等于它们的方向向量的夹角

C.二面角的范围是[0,π]

D.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小

5.[探究点一]已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在平面α内,且∠POB=60°.若直线PO与平面β所成的角为45°,则二面角α-AB-β的正弦值为　　　　　. 

6.[探究点二]若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成角的大小是　　　　　. 

7.[探究点二]如图所示,AE⊥平面ABCD,四边形AEFB为矩形,BC∥AD,BA⊥AD,AE=AD=2AB=2BC=4.

(1)求证:CF∥平面ADE;

(2)求平面CDF与平面AEFB所成角的余弦值.

8.[探究点二]如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F为PC的中点,求二面角C-BF-D的正切值.

B级 关键能力提升练

9.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-AC-B1的平面角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

11.[2023广东高二阶段练习](多选题)如图,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,其中正确的是(　　)

A.=0

B.AB⊥DC

C.BD⊥AC

D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直

12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=2,点E为C1D1的中点,则二面角B1-A1B-E的余弦值为　　　　　. 

13.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为　　　　　. 

14. [2023江西高二开学考试]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱BB1=1,∠ABC=,且M,N分别为BB1,AC的中点,连接MN.

 (1)证明:MN∥平面AB1C1;

(2)若BA=BC=2,求二面角A-B1C1-B的平面角的大小.

C级 学科素养创新练

15.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.

(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

1.2.4　二面角

1.C

2.A　建立如图所示空间直角坐标系,则A1(4,0,2),B(4,4,0),C1(0,4,2),所以=(0,4,-2),=(-4,4,0).

设平面A1BC1的一个法向量为m=(x,y,z),

则

令z=2,则m=(1,1,2).

易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),

所以cos<m,n>=,所以平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值为.故选A.

3.A　对A,若a⊥n,则直线l∥平面α或直线l⊂平面α,故A错误;

对B,若a∥n,则直线l⊥平面α,故B正确;

对C,设直线l与平面α所成角的大小为θ(0≤θ≤),则sinθ=|cos<a,n>|=,所以θ=,故C正确;

对D,设平面α,β所成锐角的大小为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=,所以θ=,故D正确.

故选A.

4.ABD　当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为时,直线l与平面α所成的角为,故A不正确;向量夹角的范围是[0,π],而异面直线所成的角为(0,],故B不正确;二面角的范围是[0,π],故C正确;二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补,故D不正确.

故选ABD.

5.　如图,过点P作PE⊥β,垂足为E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接OE,PF,则∠POE为直线PO与平面β所成的角,∠PFE为二面角α-AB-β的平面角.

设OP=a,则在Rt△PEO中,由∠POE=45°,可得PE=a;在Rt△PFO中,由∠POF=60°,可得PF=a·sin60°=a;在Rt△PEF中,sin∠PFE=,

即二面角α-AB-β的正弦值为.

6.60°　设这两个平面所成角为θ,则cosθ=,所以两个平面所成角的大小是60°.

7.(1)证明∵四边形ABEF为矩形,∴BF∥AE.

又BF⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,∴BF∥平面ADE.

又BC∥AD,同理可得BC∥平面ADE.

又BF∩BC=B,BF,BC⊂平面BCF,

∴平面BCF∥平面ADE.

又CF⊂平面BCF,∴CF∥平面ADE.

(2)解如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,

则C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4),∴=(0,4,0),=(-2,2,0),=(0,-2,4).

设n=(x,y,z)是平面CDF的一个法向量,则令y=2,解得

∴n=(2,2,1).又是平面AEFB的一个法向量,

∴cos<n,>=,∴平面CDF与平面AEFB所成角的余弦值为.

8.解如图所示,设AC与BD交于O,连接OF.

因为底面四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,O为AC中点.

又F为PC中点,所以OF∥PA.

因为PA⊥平面ABCD,

所以OF⊥平面ABCD.

以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,

则BD=,

所以O(0,0,0),B(,0,0),F(0,0,),C(0,,0),=(0,,0),易知为平面BDF的一个法向量.

由=(-,0),=(,0,-),可得平面BCF的一个法向量为n=(1,),所以cos<n,>=,sin<n,>=,所以tan<n,>=.

9.B　设AP=AB=1.

以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,

则P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),=(1,1,-1),=(0,1,-1).

设平面PCD的法向量m=(x,y,z),

则

取y=1,得m=(0,1,1).

易知平面ABP的法向量n=(0,1,0).

设平面ABP与平面CDP所成角为θ,

则cosθ=.故选B.

10. D　连接AC,取AC的中点O,连接B1O,BO.

由AB=BC,则BO⊥AC且AB1=B1C,则B1O⊥AC,故∠BOB1即为二面角B-AC-B1的平面角.

不妨设正方体的棱长为1,则在△ABC中,BO=AC=,在△AB1C中,AB1=B1C=AC=,则B1O=.

又B1B=1,故可得cos∠B1OB=.

故选D.

11.BC　对于A,设AB=AC=t,平面ABD⊥平面ADC,而BD⊥AD,AD⊥CD,则有∠BDC为二面角的平面角,即∠BDC=90°,则BC=BD=t,故∠BAC=60°,t2≠0,故A错误;

对于B,平面ABD⊥平面ADC,其交线为AD.又由CD⊥AD,且CD⊂平面ADC,则CD⊥平面ABD,则有AB⊥DC,故B正确;

对于C,同理可证BD⊥AC,故C正确;

对于D,平面ADC与平面ABC不垂直,则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不能互相垂直,故D错误.

故选BC.

12.　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),B(1,2,0),B1(1,2,2),E(0,1,2),则=(0,2,-2),=(-1,1,0).

设平面A1BE的一个法向量为n1=(x,y,z),

则令y=1,得n1=(1,1,1).

易知平面A1BB1的一个法向量为n2=(1,0,0),而二面角B1-A1B-E为锐角,故cosθ=.

13.60°　由条件,知=0,=0,,∴||2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+82+2×6×8cos<>=(2)2,∴cos<>=-.

又0°≤<>≤180°,

∴<>=120°,

∴该二面角的大小为60°.

14. (1)证明如图,取AC1的中点P,连接B1P,PN.

∵N为AC的中点,∴PN∥C1C,且PN=C1C.

又B1M∥C1C,B1M=C1C,∴PN∥B1M,PN=B1M,

∴四边形B1MNP是平行四边形,∴MN∥B1P.

又B1P⊂平面AB1C1,MN⊄平面AB1C1,∴MN∥平面AB1C1.

(2)解如图,作BE⊥BC,交AC于E,以点B为原点,BE为x轴,BC为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系Bxyz.

∵BA=BC=2,BB1=1,∠ABC=,

∴A(,-1,0),B(0,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,1),C1(0,2,1),

∴=(-,1,1),=(0,2,0).设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z).

∴

即

∴令x=1,则y=0,z=,∴m=(1,0,).

∵平面BB1C1的一个法向量为n=(1,0,0),

∴cos<m,n>=.

∵由图知二面角A-B1C1-B的平面角为锐角,

∴二面角A-B1C1-B的平面角的大小为.

15.(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,

所以AD∥CG,

故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.

由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.

又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)解作EH⊥BC,垂足为H.

因为EH⊂平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,

所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=.

以H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,),=(2,-1,0).设平面ACG的法向量为n=(x,y,z),则取x=3,则y=6,z=-,

所以n=(3,6,-).

又平面BCG的法向量可取为m=(0,1,0),

所以cos<n,m>=.

由图形知二面角B-CG-A大小为锐角.

因此二面角B-CG-A的大小为30°.