新教材2023_2024学年高中数学第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.1圆的标准方程分层作业新人教B版选择性必修第一册

第二章2.3　圆及其方程

2.3.1　圆的标准方程

A级 必备知识基础练

1.[探究点一(角度1)]圆心为(-3,4),半径是2的圆的标准方程为(　　)

A.(x+3)2+(y-4)2=4 B.(x-3)2+(y+4)2=4

C.(x+3)2+(y-4)2=2 D.(x-3)2+(y+4)2=2

2.[探究点一]方程y=表示的曲线是(　　)

A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆

3.[探究点一(角度2)]已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为(　　)

A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52

4.[探究点二](多选题)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值不可能是(　　)

A.-2 B.- C. D.2

5.[探究点一(角度2)]过原点,圆心在x轴的负半轴上,且半径为2的圆的标准方程是　　　　　　　　　. 

6.[探究点一(角度1)]将圆x2+y2=2沿x轴正方向平移2个单位后得到圆C,则圆C的标准方程为　　　　　. 

7.[探究点一(角度1)]圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是　　　　　　　　　　. 

8.[探究点一(角度1)]若圆的方程为+(y+1)2=1-k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为　　　　　、　　　　　. 

9.[探究点一(角度2)]已知点A(-1,2)和B(3,4).求:

(1)线段AB的垂直平分线l的方程;

(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.

B级 关键能力提升练

10.圆C:x2+y2=4关于直线l:x+y-1=0对称的圆的方程为(　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x+1)2+(y+1)2=4

C.(x-2)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y+2)2=4

11.已知圆(x+1)2+(y+2)2=4关于直线ax+by+1=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为(　　)

A. B.9 C.4 D.8

12.(多选题)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程可能为(　　)

A.x2+(y+)2= B.x2+(y-)2=

C.(x-)2+y2= D.(x+)2+y2=

13.(多选题)已知圆C和直线x-y=0及x轴都相切,且过点(3,0),则该圆的方程是(　　)

A.(x-3)2+(y-)2=3

B.(x-3)2+(y+3)2=27

C.(x+3)2+(y-)2=3

D.(x-3)2+(y-3)2=27

14.已知圆心C在直线x+2y-1=0上,且该圆经过(3,0)和(1,-2)两点,则圆C的标准方程为　　　　　. 

15.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为2,求圆C的方程.

2.3.1　圆的标准方程

1.A　2.D

3. B　由题意可知原点在圆上,圆的半径为r=.

故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.

4.AD　由已知条件可得(1-a)2+(1+a)2<4,即2a2+2<4,解得-1<a<1.故选AD.

5.(x+2)2+y2=4　设圆心为(a,0)(a<0),

则|a|=2,即a=-2,∴圆的标准方程为(x+2)2+y2=4.

6.(x-2)2+y2=2

7.(x-2)2+(y-4)2=20　由可得即圆心为(2,4).

又圆过原点,所以圆的半径r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.

8.(0,-1)　1　∵圆的方程为+(y+1)2=1-k2,∴r2=1-k2>0,rmax=1,此时k=0.

圆心坐标为(0,-1).

9.解由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).

(1)∵A(-1,2),B(3,4),

∴直线AB的斜率kAB=.

∵直线l垂直于直线AB,

∴直线l的斜率kl=-=-2,

∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.

(2)∵A(-1,2),B(3,4),

∴|AB|==2,

∴以线段AB为直径的圆的半径R=|AB|=.

又圆心为C(1,3),∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.

10.A　由题设,圆C的圆心为(0,0),半径为2,则对称圆的半径为2,若对称圆的圆心为(m,n),则()在x+y-1=0上,即m+n-2=0.

由对称性,知圆心连线与直线l垂直,则·(-1)=-1,即m=n,所以m=n=1,

所以对称圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选A.

11.B　圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心为(-1,-2),依题意,点(-1,-2)在直线ax+by+1=0上,

∴-a-2b+1=0,即a+2b=1(a>0,b>0),

∴=()(a+2b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=b=时取等号,

∴的最小值为9.故选B.

12.AB　根据题意,可设圆心为C(0,a),半径为r.

根据圆被x轴分成两段弧长之比为1∶2,可得圆被x轴截得的弧所对的圆心角为,所以tan=,解得a=±,所以半径r=,

所以圆的方程为x2+(y±)2=.故选AB.

13.AB　由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,则有解得

所以该圆的方程为(x-3)2+(y-)2=3或(x-3)2+(y+3)2=27.故选AB.

14.(x-1)2+y2=4　设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

因为圆心C在直线x+2y-1=0上,且该圆经过(3,0)和(1,-2)两点,

所以解得

所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.

15.解设圆心C(2y0,y0),半径r=|2y0|,圆心到直线x-y=0的距离为,由半径、弦心距、半弦长的关系得4=14+,∴y0=±2.

当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,

当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.