人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系练习

第二章2.3.3　直线与圆的位置关系

A级 必备知识基础练

1.[探究点一·人教A版教材习题改编]直线3x+4y+2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是(　　)

A.相交 B.相切

C.相离 D.相交或相切

2.[探究点三]过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为(　　)

A. B.1 C. D.2

3.[探究点二]过点(1,2)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为(　　)

A.x=1 B.3x-4y+5=0

C.x+2y-5=0 D.x=1或x+2y-5=0

4.[探究点三]若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　)

A.0或4 B.0或3 C.-2或6 D.-1或

5.[探究点一、三](多选题)已知直线l:kx-y+2k=0和圆O:x2+y2=16,则(　　)

A.直线l恒过定点(2,0)

B.存在k使得直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直

C.直线l与圆O相交

D.若k=-1,直线l被圆O截得的弦长为4

6.[探究点三]过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为　　　　　. 

7.[探究点二]已知直线l:y=kx被圆C:x2+y2-6x+5=0截得的弦长为2,则|k|的值为　　　　　. 

8.[探究点三]过点A(3,5)作圆x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程是　. 

9.[探究点三]如果一条直线过点M且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.

10.[探究点二]已知圆x2+y2=25,求满足下列条件的切线方程.

(1)过点A(4,-3);

(2)过点B(-5,2).

B级 关键能力提升练

11.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+=0的距离为1的点共有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

12.已知直线l:mx-y-3m+1=0恒过点P,过点P作直线与圆C:(x-1)2+(y-2)2=25相交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　)

A.4 B.2 C.4 D.2

13.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)

A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切

B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离

C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离

D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切

14.[2022天津卷]若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=　　　　　. 

15.过点(1,4)且斜率为k的直线l与曲线y=+1有公共点,则实数k的取值范围是　　　　　. 

16.已知圆C:x2+y2-4x=0,直线l恒过点P(4,1).

(1)若直线l与圆C相切,求l的方程;

(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求l的方程.

17.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).

(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;

(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

C级 学科素养创新练

18.已知A,B为圆C:(x+1)2+(y-1)2=5上两个动点,且|AB|=2,直线l:y=k(x-5),若线段AB的中点D关于原点的对称点为D',若直线l上任一点P,都有|PD'|≥1,则实数k的取值范围是　　　　　. 

19.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+4=0经过点(5,3),(2,0).

(1)求圆C的标准方程.

(2)若直线l:y=kx+2与圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得=6(O为坐标原点)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

2.3.3　直线与圆的位置关系

1.B　圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,

由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1),

代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.

圆心到直线的距离d==1=r,所以圆与直线相切.故选B.

2.C　根据题意,设过点(1,0)且倾斜角为30°的直线为l,其方程为y=tan30°(x-1),即y=(x-1),变形可得x-y-1=0,圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径r=1,

设直线l与圆交于点A,B,圆心到直线的距离d=,则|AB|=2×,故选C.

3.C　由题可知,圆心为(0,0),半径为.

当斜率存在时,设切线方程为y=k(x-1)+2,则d=,可得k=-,

所以y=-(x-1)+2,即x+2y-5=0.

当斜率不存在时,x=1,显然不与圆相切.

综上,切线方程为x+2y-5=0.故选C.

4.A　由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离d=.又d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.

5.BC　对于A,由l:kx-y+2k=0,得k(x+2)-y=0,令解得

所以直线l恒过定点(-2,0),故A错误;

对于C,因为直线l恒过定点(-2,0),而(-2)2+02=4<16,即(-2,0)在圆O:x2+y2=16内,所以直线l与圆O相交,故C正确;

对于B,直线l0:x-2y+2=0的斜率为,则当k=-2时,满足直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直,故B正确;

对于D,k=-1时,直线l:x+y+2=0,圆心到直线的距离为d=,所以直线l被圆O截得的弦长为2=2,故D错误.故选BC.

6.　由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),

即x+y-1=0,

圆心O(0,0)到直线l的距离为d=,

则有|AB|=2=2.

7.　由题意,圆C:(x-3)2+y2=4,故圆心C(3,0),半径r=2,故圆心到直线l:kx-y=0的距离为,故,即3k2=k2+1,解得k2=,即|k|=.

8.x+y-8=0　将圆x2+y2-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)2+(y-4)2=100,圆心为M(2,4),则点A在圆内,当AM垂直这条弦时,所得到的弦长最短.

∵kAM==1,∴这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3),即x+y-8=0.

9.解圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l=8,所以弦心距d==3.

因为圆心O(0,0)到直线x=-3的距离恰为3,所以直线x=-3是符合题意的一条直线.

设直线y+=k(x+3)也符合题意,即圆心到直线kx-y+=0的距离等于3,所以=3,解得k=-,故直线的方程为3x+4y+15=0.

综上可知,满足题意的直线方程为x=-3和3x+4y+15=0.

10.解(1)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,点A(4,-3)在圆x2+y2=25上,所以过点A(4,-3)的切线斜率存在,且其与直线AO垂直(O为坐标原点).

因为kAO=-,所以所求切线的斜率为,所以所求切线方程为y+3=(x-4),即4x-3y-25=0.

(2)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,

所以当过点B(-5,2)的切线斜率不存在时,其方程为x=-5,满足题意;

当切线斜率存在时,设斜率为k,则其方程为y-2=k(x+5),即kx-y+5k+2=0,所以圆心O(0,0)到切线的距离为d==5=r,解得k=,所以切线方程为x-y++2=0,即21x-20y+145=0.

综上,所求切线方程为21x-20y+145=0或x=-5.

11.C　化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,∵圆心到直线l:x+y+=0的距离d==1<2,

结合图形可知(图略),圆上有三点到直线l的距离为1.

12.A　直线方程可化为m(x-3)-y+1=0,故其恒过点P(3,1).

又(3-1)2+(1-2)2=5<25,即P在圆C内,要使|AB|最小,只需圆心C(1,2)与P的连线与该直线垂直.

由|CP|=,圆的半径为5,得|AB|=2×=4.故选A.

13.ABD　圆心C(0,0)到直线l的距离d=,

若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;

若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=>|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;

若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;

若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.

14.2　圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为,圆心到直线x-y+m=0(m>0)的距离为,由勾股定理可得()2+()2=3,

因为m>0,解得m=2.

15.　曲线y=+1可化为(x+2)2+(y-1)2=1(1≤y≤2),设点C(1,4),如图所示,当直线l在直线AC和BC之间运动时,直线l与曲线有公共点,其中点A为(-1,1),点B为直线l与曲线的切点,即直线l与圆心为(-2,1),半径为1的半圆相切.∵直线l的方程为y=k(x-1)+4,∴在点B处有=1,解得k=(舍),而直线AC的斜率为,∴k∈.

16.解(1)由题意可知,圆C的圆心为(2,0),半径r=2,

①当直线l的斜率不存在,即l的方程为x=4时,此时直线与圆相切,符合题意;

②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,∴直线l的方程为y-1=k(x-4),化为一般式为kx-y+1-4k=0.

若直线l与圆相切,则d==2,即1-4k+4k2=4k2+4,解得k=-,

∴直线l:-x-y+4=0,即直线l:3x+4y-16=0.

综上,当直线l与圆C相切时,直线l的方程为x=4或3x+4y-16=0.

(2)由题意可知,直线l的斜率一定存在,设斜率为k,

∴直线l的方程为y-1=k(x-4),即kx-y+1-4k=0.

设圆心到直线l的距离为d,则d=,

由垂径定理可得,d2+()2=4,即+3=4,

整理得,3k2-4k=0,解得k=0或k=,

则直线l的方程为y=1或4x-3y-13=0.

17.(1)证明直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0化为(2x+y-7)m+x+y-4=0,则解得

所以直线l恒过定点M(3,1).

由题可知圆心C(1,2),半径r=5,又因为|CM|=<5,所以点M(3,1)在圆C内,所以不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点.

(2)解当直线l所过的定点为弦的中点,即CM⊥l时,直线l被圆截得的弦长最短,kCM==-,所以直线l的斜率为2,即-=2,解得m=-,所以直线l的方程为2x-y-5=0.

18.　∵|AB|=2,且圆C:(x+1)2+(y-1)2=5的半径为,

∴AB的中点D到圆心(-1,1)的距离为=2,

则D的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=4.

∵线段AB的中点D关于原点的对称点为D',

∴D'的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4.

要使直线l:y=k(x-5)上任一点P,都有|PD'|≥1,

则-2≥1,解得k≤或k≥.

∴实数k的取值范围是∪[,+∞).

19.解(1)依题设得解得

∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

联立消去y并化简得(1+k2)x2-2(k+2)x-4=0,

∴x1+x2=,x1x2=,

∴=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=-4++4=6,

∴k2-4k+3=0,∴k=1或3.