高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系课时作业

第二章2.3.4　圆与圆的位置关系

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]已知圆O1:x2+y2=4,圆O2:x2+y2-2x-2y-4=0,则同时与圆O1和圆O2相切的直线有(　　)

A.4条 B.2条 C.1条 D.0条

2.[探究点一]已知圆C1的标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+y+1=0对称,则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)

A.相离 B.相切

C.相交 D.内含

3.[探究点一]“a=3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.[探究点三]过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是(　　)

A.x2+y2-x-=0

B.x2+y2-x+=0

C.x2+y2+x-=0

D.x2+y2+x+=0

5.[探究点一](多选题)当实数m变化时,圆x2+y2=1与圆N:(x-m)2+(y-1)2=4的位置关系可能是(　　)

A.外离 B.外切

C.相交 D.内含

6.[探究点二](多选题)若圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0的交点为A,B,则(　　)

A.公共弦AB所在直线方程为x+y-3=0

B.线段AB中垂线方程为x-y+1=0

C.公共弦AB的长为2

D.在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆C1

7.[探究点一]已知圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0,则圆C1与圆C2的位置关系是　　　　　. 

8.[探究点一]圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-6x+8y+m=0外切,则实数m=　　　　　. 

9.[探究点一、二、三]已知圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0.

(1)求证:圆C1与圆C2相交;

(2)求两圆公共弦所在直线的方程;

(3)求经过两圆交点,且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.

10.[探究点一、二]已知圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x-12y+m=0.

(1)m取何值时两圆外切?

(2)m取何值时两圆内切?

(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

B级 关键能力提升练

11.已知圆M:x2+y2-2ax=8截直线l:x-y=0所得的弦长为,则圆M与圆N:x2+(y-1)2=4的位置关系是(　　)

A.内切 B.相交 C.外切 D.相离

12.已知直线l:mx+y-m-1=0与圆M:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,则当弦AB最短时,圆M与圆N:x2+(y-m)2=1的位置关系是(　　)

A.内切 B.相离 C.外切 D.相交

13.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+1=0相交于A,B两点,下列说法正确的是 (　　)

A.圆O与圆M有两条公切线

B.圆O与圆M关于直线AB对称

C.线段AB的长为

D.若E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为4+

14.已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4和圆C2:(x-2)2+(y-1)2=2交于A,B两点,直线l与直线AB平行,且与圆C2相切,与圆C1交于点M,N,则|MN|=　　　　　. 

15.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是　　　　　　　　　. 

16.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.

(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;

(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.

C级 学科素养创新练

17.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个结论中正确的有(　　)

A.存在一条定直线与所有的圆均相切

B.存在一条定直线与所有的圆均相交

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

2.3.4　圆与圆的位置关系

1.B　圆O2的圆心为O2(1,1),半径为r2=.

圆O1的圆心为O1(0,0),半径为r1=2.

因为|O1O2|=,|r1-r2|=-2,r1+r2=+2,所以|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2,即圆O1和圆O2相交,则同时与圆O1和圆O2相切的直线有2条.故选B.

2.C　由题意可得,圆C1:(x-4)2+(y-4)2=25的圆心为(4,4),半径为5.

因为圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+y+1=0对称,所以2+×(-)+1=0,得m=2,所以圆C2:(x-2)2+(y+)2=4的圆心为(2,-),半径为2,则两圆圆心距|C1C2|=.

因为5-2<|C1C2|<<7=2+5,所以圆C1与圆C2的位置关系是相交.故选C.

3.A　若圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切,

当两圆外切时,=2+1,所以a=-3或a=3;

当两圆内切时,=2-1,所以a=1或a=-1.

所以“a=3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的充分不必要条件.故选A.

4.A　设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,λ≠-1,

再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=,故要求的圆的方程为x2+y2-x-=0.

5.ABC　圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-m)2+(y-1)2=4的圆心为C2(m,1),半径r2=2,则|C1C2|=,|r1-r2|=1,r1+r2=3.

∵|C1C2|=≥1,

∴当|C1C2|=1时,两圆内切;

当1<|C1C2|<3时,两圆相交;

当|C1C2|=3时,两圆外切;

当|C1C2|>3时,两圆外离,

∴两圆的位置关系可能是相切、外离和相交.故选ABC.

6.AD　对于A,由圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0,联立两个圆的方程可得x+y-3=0,即公共弦AB所在直线方程为x+y-3=0,故A正确;

对于B,圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0,其圆心C1为(),圆C2:x2+y2-2x-2y=0,其圆心C2为(1,1),直线C1C2的方程为y=x,即线段AB中垂线的方程为x-y=0,故B错误;

对于C,圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0,即(x-)2+(y-)2=,其圆心C1为(),半径r=,圆心C1()在公共弦AB上,则公共弦AB的长为,故C错误;

对于D,圆心C1()在公共弦AB上,在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆C1,故D正确.故选AD.

7.相交　圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0可化为(x+1)2+(y+)2=,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0可化为(x+2)2+(y+)2=,则两圆圆心分别为C1(-1,-),C2(-2,-),半径分别为R=,r=,圆心距为d=1.

∵>1>,∴两圆相交.

8.9　圆O1的圆心O1(0,0),半径r1=1,圆O2的圆心O2(3,-4),半径r2=,则|O1O2|=5.

根据题意可得|O1O2|=r1+r2,即5=1+,

∴m=9.

9.(1)证明圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16,∴C2(-1,-1),r=4.

∵圆C1:x2+y2=10的圆心坐标为C1(0,0),半径为R=,

∴|C1C2|=.

∵4-<4+,∴两圆相交.

(2)解由圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0,将两圆方程相减,可得2x+2y-4=0,

即两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0.

(3)解由解得则交点为A(3,-1),B(-1,3).

过两圆圆心的直线为x-y=0,联立故圆心P(3,3),半径r=|AP|=4,∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=16.

10.解两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为.

两圆圆心之间的距离d==5.

(1)当两圆外切时,5=,

解得m=25+10.

(2)当两圆内切时,因定圆的半径小于两圆圆心间距离5,故只有=5,解得m=25-10.

(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2=2.

11.B　由圆M:x2+y2-2ax=8,即(x-a)2+y2=8+a2,故圆心M(a,0),半径rM=,所以点M到直线l:x-y=0的距离d=,故2,即2,解得a=±1,所以M(±1,0),rM=3.

又圆N:x2+(y-1)2=4,圆心N(0,1),rN=2,

所以|MN|=,且|rM-rN|=1<<5=rM+rN,即圆M与圆N相交.故选B.

12.D　易知直线l:mx+y-m-1=0过定点P(1,1),弦AB最短时直线l垂直于PM.

又kPM==1,所以1·(-m)=-1,解得m=1,

此时圆N的方程是x2+(y-1)2=4.

两圆圆心之间的距离MN=.

又2-1<<2+1,所以两圆相交.故选D.

13.ABD　圆O:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,圆M:x2+y2+4x-2y+1=0,即(x+2)2+(y-1)2=4,其圆心为(-2,1),半径R=2,

所以0=R-r<|OM|=<R+r=4,两圆相交.

对于A,因为圆O与圆M相交,所以有两条公切线,故A正确;

对于B,两圆方程相减得4x-2y+5=0,即直线AB的方程为4x-2y+5=0.

因为圆心O(0,0)与圆心M(-2,1)关于直线AB对称,且两圆半径相等,故B正确;

对于C,由B的结论可知,|AB|=2=2,故C错误;

对于D,E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为|MO|+r+R=+4,故D正确.故选ABD.

14.4　由圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4,可知圆心C1(1,2),半径为2,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=2,可知圆心C2(2,1),半径为.

又圆C1:x2+y2-2x-4y+1=0,圆C2:x2+y2-4x-2y+3=0,所以可得直线AB:x-y-1=0.

设直线l:x-y+C=0,直线l与圆C2相切,则,解得C=1,或C=-3.

当C=1时,直线l:x-y+1=0,所以|MN|=2=4;

当C=-3时,直线l:x-y-3=0,>2,故不符合题意.

15.=1　当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.

设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d==5,所以所求圆半径为1.由已知可知,所以a=,所以b=-,

所以所求圆的方程为=1.

16.解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),半径为,圆C2:x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.

若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,则圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d==1,整理得3k2=1,解得k=±,

所以直线方程为y=±x.

若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.

综上所述,直线方程为y=±x.

(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x-3=5,即x=2.

所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,所以|AB|=2=2.

17.BD　根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;

考虑两圆的位置关系,圆Ck:圆心(k-1,3k),半径为r=k2,圆Ck+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为R=(k+1)2,两圆的圆心距d=,两圆的半径之差R-r=(k+1)2-k2=2k+,任取k=1或2时,(R-r>d),Ck含于Ck+1之中,选项A错误;

若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;

将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,

即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),

因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.