人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程随堂练习题

第二章2.7　抛物线及其方程

2.7.1　抛物线的标准方程

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]对抛物线x2=4y,下列描述正确的是(　　)

A.开口向上,焦点为(0,1)

B.开口向上,焦点为

C.开口向右,焦点为(1,0)

D.开口向右,焦点为

2.[探究点一]抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是(　　)

A.2 B.1 C. D.

3.[探究点一]以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)

A.y2=8x B.y2=-8x

C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y

4.[探究点一、二]若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为(　　)

A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x

5.[探究点二]已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于(　　)

A.4 B.2 C.1 D.8

6.[探究点二]已知O为坐标原点,抛物线x=y2的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,则M点到x轴的距离为(　　)

A.2 B. C.2 D.2

7.[探究点二]若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　　. 

8.[探究点三]一抛物线形拱桥,当桥顶离水面2米时,水面宽4米,若水面下降2米,则水面宽为　　　　米. 

9.[探究点二·北师大版教材例题]已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,求点M的轨迹方程.

10.[探究点二]已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).

(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;

(2)求点P到点B(,2)的距离与到直线x=-的距离之和的最小值.

B级 关键能力提升练

11.AB是抛物线y2=2x的一条过焦点的弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是(　　)

A.2 B. C. D.

12.动点P在抛物线x2=4y上,则点P到点C(0,4)的距离的最小值为(　　)

A. B.2 C. D.12

13.(多选题)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线y2=4x上,则(　　)

A.当a=1时,|PA|的最小值为1

B.当a=3时,|PA|的最小值为3

C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4

D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2

14.若P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,抛物线C的焦点为F,则|PF|=　　　　　. 

15.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.

(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;

(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

C级 学科素养创新练

16. 如图,空间直角坐标系Dxyz中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且|AM|=|AB|,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1 的距离与P到点M的距离相等,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是　　　　　　　　　. 

17.利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面,所得截线是抛物线”的几何原理,某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识,如图1所示,图2是投影射出的抛物线的平面图,图3是一个射灯投影的直观图,在图2与图3中,点O,A,B在抛物线上,OC是抛物线的对称轴,OC⊥AB于C,AB=3米,OC=4.5米.

图1

图2

图3

(1)求抛物线的焦点到准线的距离;

(2)在图3中,已知OC平行于圆锥的母线SD,AB,DE是圆锥底面的直径,求圆锥的母线与轴的夹角的正弦值.

2.7.1　抛物线的标准方程

1.A　∵抛物线的标准方程为x2=4y,

∴2p=4,p=2,解得=1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,可得该抛物线的开口向上.

2.C　抛物线y=2x2化为x2=y,

∴焦点到准线的距离为.

3.C　依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0).

因为焦点到准线的距离为4,所以p=4,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.

4.D　抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到焦点的距离等于到其准线的距离,即为4,∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.故选D.

5.C　如图,F,

过A作AA'⊥准线l,

∴|AF|=|AA'|,

∴x0=x0+=x0+,

∴x0=1.

6.D　由题意得y2=4x,所以准线为x=-1,

又因为|MF|=3,设点M的坐标为(x0,y0),

则有|MF|=x0+1=3,解得x0=2,

将x0=2代入解析式y2=4x,得y0=±2,

所以M点到x轴的距离为2.故选D.

7.9　抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.

8.4　以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).

由当桥顶离水面2米时,水面宽4米可得图中点A的坐标为(2,-2),所以4=-2p×(-2),解得p=1.

所以抛物线的方程为x2=-2y.

当水面下降2米,即当y=-4时,

可得x2=-2×(-4)=8,解得x=±2,

因此水面宽为4米.

9. 解如图,点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,即“点M到点F(4,0)的距离等于它到直线l':x+4=0的距离”.

由此可知,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,以直线l':x=-4为准线的抛物线.故点M的轨迹方程是y2=16x.

10.解(1)将x=3代入y2=2x得y=±,而>2,即点A在抛物线y2=2x内部,过点P作PQ垂直于抛物线的准线l:x=-于点Q,由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|取得最小值,即|PA|+|PF|的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,即点P的坐标为(2,2),所以|PA|+|PF|的最小值为,点P的坐标为(2,2).

(2)显然点B(,2)在抛物线y2=2x外部,设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号,又F(,0),|BF|==2,所以所求最小值为2.

11.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,∴.

12.B　设P(x,),则|PC|=,当x2=8时,|PC|取得最小值,最小值为2.故选B.

13.ACD　当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点,设P(x0,y0),x0≥0,则|PA|=x0+1≥1,故|PA|的最小值为1,故A正确;

设抛物线的准线为l:x=-1,过点P作PN⊥l于点N,此时|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故当N,P,M三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,此时(|PA|+|PM|)min=3+1=4,故C正确;

当a=3时,A(3,0),连接AM,并延长AM交抛物线于点P',

此时|PA|-|PM|=|P'A|-|P'M|=|AM|为|PA|-|PM|的最大值,当P在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于|AM|,

因为|AM|==2,故D正确;

此时|PA|=.

当x0=1时,|PA|min=2,故B错误.故选ACD.

14.5　由P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,得42=2p×1,可得p=8,则|PF|=1+=5.

15.解(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.

由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.

由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=,即|PA|+d的最小值为.

(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2.

因为2>2,所以点B在抛物线的内部.

过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).

由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,

所以|PB|+|PF|的最小值为4.

16.x2-6x-2y+1=0　作PN⊥AD,NH⊥A1D1,N,H为垂足,图略,则PN⊥面A1D1DA,

由线面垂直的判定可得出 PH⊥A1D1.

由题中空间直角坐标系,设P(x,y,0),由题意可得 M(3,1,0),H(x,0,3),|PM|=|PH|,

∴,整理,得x2-6x-2y+1=0.

17.解(1)在题图2中,以O为坐标原点,以OC所在直线为y轴,建立如图平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由题意可得B(,-),

∴=-2p·(-),解得p=,

即抛物线的焦点到准线的距离为.

(2)在题图3中,∵OC∥SD,

∴,∴SD=2OC=9.

又DC=AB=,∴sin∠CSD=.