2023嘉兴海盐二中高一下学期期中数学试题含解析

海盐第二高级中学2022/2023学年第二学期高一期中考试

数学试卷

考试时间：120分钟

2023.5

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 下列几何体中是旋转体的是(　　)

①圆柱　②六棱锥　③正方体　④球体　⑤四面体

A. ①和⑤ B. ①

C ③和④ D. ①和④

2. 已知复数（i为虚数单位），若是纯虚数，则实数a=（    ）

A.  B.  C.  D. 3

3. 已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　）

A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直

4. 向量，．若，则（    ）．

A  B.  C.  D. 2

5. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）．

A.  B.  C.  D.

6. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量两地之间的距离，甲同学选定了与不共线的C处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量其中要求能唯一确定两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ）

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④

8. 将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合要求的.

9. 如图，点是线段三等分点，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（    ）

A.  B. 平面 C.  D.

11. 已知向量不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数的值可以是（    ）

A. 2， B. ， C. 2， D. ，

12. 如图，设E，F分别是长方体的棱CD上的两个动点，点E在点F的左边，且满足，有下列结论：（    ）

A. ⊥平面；

B. 三棱锥体积为定值；

C. 平面；

D 平面⊥平面．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若复数（为虚数单位，），满足，则的值为______．

14. 已知向量，，且在上的投影数量等于，则___________.

15. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为________．

16. 如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知平面向量，，，，且与的夹角为．

（1）求

（2）若与垂直，求k的值．

18. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.

（1）求两点间的距离；

（2）求大楼的高度.

19. 已知为实数，为虚数单位，且满足.

（1）求实数的值；

（2）若复数在复平面所对应的点在直线上，求实数的值.

20. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥的体积为．

（1）求圆柱的表面积；

（2）求异面直线与OP所成角的余弦值．

21. 已知四边形，将四边形沿折起，使，如图所示．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，D为AC边上的一点，，且        ，求△ABC的面积．

请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．

①BD是∠ABC平分线；②D为线段AC的中点．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）