辽宁省沈阳市东北育才学校少儿部2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案）

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校少儿部2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
少儿部高三第一次模拟考试数学一、单选题1．非空集合，，，则实数m的取值范围为（        ）A．    B．    C．    D．2．设，则“”是“复数为纯虚数”的（        ）A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件  C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件3．若，且，则的值是（        ）.A．     B．     C．     D．4．已知函数在区间的值域为，则（        ）A．2     B．4     C．6     D．85．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（）时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要（        ）A．3年     B．4年     C．5年     D．6年6．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（        ）A．    B．    C．    D．7．下列不等式正确的是（其中为自然对数的底数，，）（        ）A．    B．   C．  D．8．已知空间向量，，两两夹角均为60°，且，.若向量x，y满足，，则的最小值是（        ）A．    B．     C．0     D．二、多选题9．将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（        ）A．      B．的图像关于直线对称C．的图像关于点对称    D．在上单调递增10．已知a，b为正实数，且，则（        ）A．ab的最大值为8        B．的最小值为8C．的最小值为      D．的最小值为11．定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（        ）A．         B．函数关于对称C．函数是周期函数       D．12．已知，则（        ）A．的极小值为B．存在实数a，使有4个不相等的实根C．若在上恰有2个整数解，则D．当时，函数的最小值为1三、填空题13．已知，则的最小值为．14．已知，则.15．已知，则的取值范围是（精确0.1）．16．已知点A在函数的图象上，点B在直线l：上，则A，B两点之间距离的最小值是．四、解答题17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若的面积，且，求.18．展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入R万元，且（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）（2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润．19．已知函数．（1）若关于x的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求m的取值范围；（2）设函数，若-，对总有成立，求n的取值范围．20．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，存在，，对任意，有恒成立，求的最小值；（3）若函数在内恰有2023个零点，求a与n的值.21．如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.（1）当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，①求的最小值；②设的面积为，的面积为，求的最小值.（2）若的面积为，，且，，…，，…，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值.22．已知函数，．（1）当时，求证；（2）令，若的两个极值点分别为m，n（），求证：．参考答案：1．A【分析】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.【详解】解：由题知，因为，所以，所以，故令函数，所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：，即，解得，所以，实数m的取值范围为.故选：A2．C【分析】求出为纯虚数时m的值，与比较，判断出结果【详解】，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件故选：C3．C【详解】由题设，，又，则，所以，应选答案C．点睛：角变换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．4．C【分析】根据函数在上为奇函数知对称中心为，根据平移可知函数图象的对称中心，即可求解.【详解】因为在上为奇函数，所以函数图象关于原点对称，因为，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的对称性，函数图象的平移，利用对称性求解问题，属于中档题.5．A【分析】根据函数模型解析式，代入值得到方程组，解出k，b，则得到函数解析式，代入或列不等式均可.【详解】由题意可得，，则，解得，，所以，，由函数的解析式可得，在上单调递增，且，故该果树的高度不低于5.4m，至少需要3年.故选：A.6．C【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在y轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，令，得，则它在y轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，…，则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，…，故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，即，解得.故选：C【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.7．C【分析】分别构造函数，利用导数求单调性即可求解.【详解】对于A，由，考虑函数，，因为，所以在上为增函数，所以，，即，故A错误；对于B，由，考虑函数，，因为，所以在上为增函数，所以，所以在上恒成立，因为，所以，即成立，所以，故B错误；对于C，由，考虑函数，，因为，所以在上为减函数，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，显然，所以，故D错误．故选：C8．C【分析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可.【详解】取一三棱锥O-ABC，，，，且，，，所以，，设，，因为，所以，即，所以X在以AB为直径的球上，球半径为，设球心为D，又由同理可知Y在以AC为直径的球上，球半径为，设球心为E，球心距，所以两球相交，即X点与Y点可以重合，又，所以.故选：C.9．BCD【分析】由平移和伸缩变换判断A，采用代入法判断BC，由正弦函数的单调性判断D.【详解】由题意得，，A错误；，B正确；因为，所以的图像关于点对称，C正确；由，得，所以在上单调递增，D正确．故选：BCD10．ABC【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.【详解】因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故ab的最大值为8，A正确；由得，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；，当且仅当，即时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．故选：ABC．11．ACD【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件可得，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，判断C，D.【详解】因为为奇函数，所以，取可得，A对，因为，所以所以，又，即，，故，所以函数的图象关于点对称，B错，因为，所以所以，c为常数，因为，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，因为，所以，，所以，所以，所以，故的值为0，D正确；因为，即故函数也为周期为4的函数，C正确.故选：ACD.【点睛】本题的关键在于结合，，且为奇函数三个条件，得到函数，的周期，利用对称性和周期性判断各个选项.12．ACD【分析】根据题意，利用导数研究函数的性质，即可画出其函数图像，即可判断A，换元令，由二次函数根的分布列出不等式，即可判断B，列出不等式求解，即可判断C，求导得到函数的极值，即可判断D.【详解】当时，，∴当时，，∴在上单调递减；当时，，∴在上单调递增，的极小值为；同理可得，当时，在上单调递增；在上单调递减，的极大值为，∴的图像大致如图所示，由图可知A正确；令，则有两个实根，，且，，则令，∴，∴，∴，所以无解，故B错误；由，得，故C正确；，则，由，知，设，则在上单调递增，又，，所以存在，使得，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故D正确.故选：ACD.13．4【分析】由于，可得，而已知，代入可求得的最小值.【详解】，∴，当且仅当，即时，等号成立．14．2【分析】逆用两角和与差的正切公式即可.【详解】.故答案为：2.15．【分析】根据对数的换底公式和运算性质进行求解即可.【详解】，，所以，故答案为：16．【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.【详解】由题意可得，令得所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，所以的图象如下图：要使得A，B两点之间距离最小，即直线与l平行时，当直线与曲线相切时，与l的距离即为A，B两点之间最小的距离，令，解得．由，所以直线的方程为，即则与l的距离，则A，B两点之间的最短距离是．故答案为：．17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得A角；（Ⅱ）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由，即，由正弦定理得，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴.（Ⅱ）∵，∴，∵，，∴，即，∴.18．（1）（2）当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本结合已知条件求解即可，（2）分和求出S的最大值，比较即可得答案.【详解】（1）当时，，当时，，综上，，（2）当时，，函数的对称轴是，则函数在上递增，所以当时，函数取得最大值1450；当时，，当且仅当，即时取等号，此时S的最大值为1490，因为所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．19．（1）；（2）.【分析】（1）由方程解的意义，求出曲线与直线在区间上恰有2个交点的m取值范围作答.（2）由（1）的信息，再求出函数在上的最小值推理作答.【详解】（1）函数，，由得，依题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点，，当时，，当时，，因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，取最小值，最小值为，，，又，所以.（2）由，总有成立知，函数在上的最小值不大于函数在上的最小值，即，由（1）知，在区间上，，当时，，当时，，当时，，因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，于是，则有，即，所以n的取值范围是.20．（1）（2）（3），，或，【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可；（2）根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到，进而得到答案；（3）将原题意转化为，令，则（），再分类讨论进行取舍即可得到答案.【详解】（1）令，得∴函数的单调递增区间为（2）令（），则可得，当即时，；当即时，∵存在，，对任意，有恒成立，∴为的最小值，为的最大值，∴，，∴，∴.（3）令，方程可化为，令，则，当时，，，此时函数在上有n个零点，∴，适合题意；当时，m在内有一解，在或内有一取值，则此时函数在上有2n个零点，不适合题意；当时，，，此时函数在上有个零点，∴，适合题意；当时，或，或，则此时函数在上有3n个零点，不适合题意；当时，m在和内各有一解，在和内各有一取值，则此时函数在上有4n个零点，不适合题意；当时，，，则此时函数在上有2n个零点，不适合题意.综上所述，，，或，.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的综合应用问题.关键点在于换元法的运用，例如（2）中令（），则，进而转化为二次函数；第（3）中方程可化为，令，则，通过换元进而由繁化简进行求解.本题考查转化与化归、分类与整合能力，属于难题.21．（1）①；②（2）【分析】（1）①根据题意，将，作为基底表示，由E，O，F三点共线可知，，的系数之和为1可得，的关系，再利用基本不等式即可得解；②利用三角形的面积公式结合条件可得，然后利用基本不等式求解即可；（2）设D为BC的中点，从而可得，则，再结合基本不等式求解即可.【详解】（1）①因为，所以，又，因为E，O，F三点共线，所以，所以，当且仅当取等号，所以的最小值为；②，又由①知，所以所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值为；（2）设D为BC的中点，则，所以，所以，又，，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.【点睛】关键点点睛：将，作为基底表示，由E，O，F三点共线可知，，的系数之和为1可得，的关系，是解决本题的关键.22．（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）通过作差构造函数，利用二次求导法进行求解即可；（2）通过作差构造函数，利用多次求导法、结合曲线的切线的性质、极值点的定义进行求解即可.【详解】（1）令，则，令，则，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，则，所以；（2）由题可得，则．令，当时，，则，令，则，所以在R上单调递减，又，，所以存在，使得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以，，因为，，所以曲线在处的切线方程为，在处的切线方程为．令，则，令，则，所以在R上单调递增，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即；令，则，令，则，所以在R上单调递增，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即．所以当时，曲线在，处的切线，均不在图象的下方，所以，，得，．所以，即．【点睛】关键点睛：多次求导，根据曲线切线的性质、极值点的定义是解题的关键.