浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

海盐第二高级中学2022-2023学年第二学期期中考试

数学学科试题

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列求导运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断ABC选项，利用求导法则可判断D选项.

【详解】，，，.

ABC均错，D对.

故选：D.

2. 若二项式的展开式中所有二项式系数之和为32，则含项的系数是（    ）

A. 80 B. -80 C. 40 D. -40

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，可得，然后结合二项式的通项公式即可得到结果.

【详解】由题知，解得，则为，

通项公式为，

所以二项式的展开式中含项的系数为.

故选：A.

3. 邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（　　）

A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 10种

【答案】C

【解析】

【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.

【详解】第一步先投一封信有3种不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的投法.

故选：C

4. 已知甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，每名志愿者只能参加1个比赛项目的服务工作，则乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】使用间接法，若求乙、丙不在同一个比赛项目服务的安排方法，在所有的安排方法中排除乙、丙在同一个比赛项目服务的安排方法．

【详解】甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，有种安排方法；

而乙、丙在同一个比赛项目服务，有种安排方法，

所以乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为．

故选：C．

5. 若为第二象限角，则（    ）

A. -2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用同角三角函数的基本关系可求得结果.

详解】由，得，

代入，得或，

因为为第二象限角，

所以，

所以，

所以.

故选：B.

6. 已知直线是曲线的切线，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.

【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，

于是且，所以.

故选：B

7. 十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造，根据题意推得.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，即可得出答案.

【详解】如图：

过D作于E，则．

，

所以，.

故选：D．

8. 已知，，，则（参考数据：）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.

【详解】因为， ，

考虑构造函数，则，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

因为，所以，即，

所以，

所以，即，

又，

所以，故，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列四个命题中为真命题的是（    ）

A. 若随机变量服从二项分布，则

B. 若随机变量服从正态分布，且，则

C. 已知一组数据的方差是3，则的方差也是3

D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4

【答案】AC

【解析】

【分析】由二项分布的期望公式判断A；由正态分布的性质判断B；由方差的性质判断C；由回归方程必过样本中心点求解可判断D.

【详解】对于A，由于，则，故A正确；

对于B，，故，故B错误；

对于C，的方差是3，则的方差不变，故C正确；

对于D，回归方程必过样本中心点，则，解得，故D错误.

故选：AC.

10. 一个袋子中有编号分别为的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（    ）

A  B. 事件与事件相互独立

C.  D. 事件与事件互为对立事件

【答案】AC

【解析】

【分析】对于选项A，由古典概型的概率公式得，所以该选项正确；对于选项B，由题得，事件与事件不相互独立，所以该选项错误；对于选项C, ，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件与事件不是对立事件，所以该选项错误.

【详解】对于选项A，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有 ，共5个，由古典概型的概率公式得，所以该选项正确；

对于选项B，由题得,,所以，

事件与事件不相互独立，所以该选项错误；

对于选项C, ，所以该选项正确；

对于选项D, 如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A和B都没有发生，所以事件与事件不是对立事件，所以该选项错误.

故选：AC

11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的解析式为

B. 函数在上单调递减

C. 该图象向右平移个单位可得的图象

D. 函数关于点对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图象求函数的解析式，再结合三角函数性质以及图象变换逐项分析判断.

【详解】由图可得：，可得，

且，解得，

所以，

因为的图象过点，即，

可得，则，可得，

且，则，

所以，故A正确；

因为，则，且在上不单调，

所以函数在上不单调，故B错误；

该图象向右平移个单位可得，

所以该图象向右平移个单位可得的图象，故C正确；

因为，所以函数关于点对称，故D正确；

故选：ACD.

12. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（　　）

A. 必有两个极值点

B. 有且仅有3个零点时，的范围是

C. 当时，点是曲线的对称中心

D. 当时，过点可以作曲线的3条切线

【答案】ABD

【解析】

【分析】对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断A，要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，判断B，当时计算判断C，设切点为，求过点的切线方程，令，，所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数判断D.

【详解】选项A：由题意可得，

令解得或，

因为，所以令解得或，令解得，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确；

选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即，

解得，故B正确；

选项C：当时，，

，

，所以点不是曲线的对称中心，C错误；

选项D：，设切点为，

所以在点处的切线方程为：，

又因为切线过点，所以，

解得，令，，

所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数，

，

令解得或，

因为，所以令解得或，

令解得，

则在，上单调递增，在上单调递减，且，，

图像如图所示，

所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确；

故选：ABD

【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据排列数公式可得出关于的等式，分析可知且，即可解得的值.

【详解】因，则且，则，即，解得.

故答案为：.

14. 橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于的橘果个数为___________.

【答案】300

【解析】

【分析】先按照正态分布计算出不低于的概率，再计算出个数即可.

【详解】结合正态分布特征，，，所以估计单个果品质量不低于的橘果个数为.

故答案为：300.

15. 已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】利用两角和的余弦公式化简并结合诱导公式可得，将化为，利用二倍角余弦公式即可求得答案.

【详解】由可得，

即，即，

故

，

故答案为：

16. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】由图象平移写出解析式，再由，根据正弦函数图象及零点个数求参数范围，即得结果.

【详解】由题设，

在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，

所以，即，故满足要求.

故答案为：（答案不唯一）

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知在的展开式中，第项为常数项，求：

（1）的值；

（2）展开式中的系数；

（3）展开式中各项的系数和.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）写出展开式通项，利用为常数项可求得的值；

（2）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解；

（3）在二项式中令可得出展开式中各项的系数和.

【小问1详解】

解：展开式通项为，

由题意可知，，由题意可得，解得.

【小问2详解】

解：展开式通项为，

令，解得，

因此，展开式中的系数为.

【小问3详解】

解：在中，令，可得展开式中所有项的系数和为.

18. 已知函数.

（1）求的值和的最小正周期；

（2）求在上的最值.

【答案】（1）3，最小正周期为   

（2）最大值3，最小值

【解析】

【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式化简函数，再代入求值，求解周期；

（2）先根据的范围求出的范围，再求解最值.

【小问1详解】

;

;

的最小正周期为.

【小问2详解】

因为，所以.

所以.

所以，即.

时，最大值3;

时，最小值.

19. 已知函数，且.

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1）   

（2）单调递增区间为，单调递减区间为

【解析】

【分析】（1）由已知可得，根据已知求出，代入可得.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；

（2）由（1）知，.解以及，即可得出函数的单调区间.

【小问1详解】

由已知可得，

所以，解得，

所以，所以.

根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率，

所以切线方程为，即.

【小问2详解】

由（1）知，.

令，得或.

解可得，或，

所以在上单调递增，在上单调递增；

解可得，，所以在上单调递减.

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.

20. “绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心．据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求a的值；

（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；

（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X．求随机变量X的分布列及期望．

【答案】（1）   

（2）   

（3）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据频率和为1求；

（2）根据题意结合古典概型分析运算；

（3）根据题意可得，根据二项分布求分布列和期望.

【小问1详解】

由小矩形面积和等于1可得：，解得.

【小问2详解】

第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30

根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人

再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.

【小问3详解】

由题意可知：，则有：

，，

，.

∴X的分布列为：

可得的数学期望.

21. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得.

（1）已知可用一元线性回归模型拟合y与x关系，求其经验回归方程；

（2）若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.

附：.

【答案】（1）；   

（2）分布列见解析，.

【解析】

【分析】（1）利用给定的数表求出，再利用最小二乘法公式求解作答.

（2）求出的可能值，及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【小问1详解】

由数表知，

，

因此，，

所以所求经验回归方程为.

【小问2详解】

由数表知，，，

因此“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个，

的可能值为，

，

，

所以的分布列为：

数学期望.

22. 已知．

（1）若，且对任意恒成立，求a的范围；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用分离参数得对任意恒成立，再设，利用导数求出其最值即可；

（2）证法1：通过隐零点法得，然后构造新函数求解其范围即可；

证法2：令，利用导数证明，则得.

【小问1详解】

∵，若对任意恒成立，

则对任意恒成立，即对任意恒成立，

令，则，令，解得，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，函数取得最大值．

所以.

【小问2详解】

证法1，由（1）可得时，在上单调递增．

又因为，当x趋近于0时，趋近于．

∴使得，即．

当时，，时，．

∴在递减，在递增．

∴，，

令，，

当时，，，则在上，，

∴单调递减，∴．∴当时，．

证法2：令，，，

当时，，当时，．

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴．

∵，∴．∴．