江苏省南京市第二十七高级中学2023-2024学年高二上学期期初考试数学试题(无答案)

南京市第二十七高级中学2023-2024学年高二第一次调研试卷

数学

命题人：丁海峰  审题人：任高禄

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，若复数，则的虚部为（    ）

A. B. C.0 D.1

2.若直线与直线平行，则的值为（    ）

A.1 B.1或 C. D.0

3.在长方体中，已知点为线段的中点，且，，，则直线与所成的角为（    ）

A.30° B.45° C.60° D.90°

4.开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是20（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是81，则（    ）

A.181 B.97 C.52 D.19

5.已知向量，满足，且，则，夹角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

6.已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为（    ）

A. B. C. D.

7.已知角，且，则（    ）

A. B.或 C. D.或

8.已知，是圆上的两个动点，且，若，则点到直线距离的最大值为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.7

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（    ）

A.直线的倾斜角为120°

B.经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为

C.直线恒过定点

D.已知直线过点，且与，轴正半轴交于点、两点，则面积的最小值为4

10.已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ）

A.直线的方程为

B.若、两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5

C.圆和圆的一条公切线长为

D.经过点、两点的所有圆中面积最小的圆的面积为

11.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则是锐角三角形

C.若，，，则符合条件的有两个

D.对任意，都有

12.在边长为2的正方体中，，分别是，的中点，则（    ）

A.与为异面直线

B.

C.点到平面的距离为2

D.若点为线段上的一动点，则的范围

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.若椭圆的离心率为，则的值为______.

14.已知向量，的夹角为，且，，则在上投影向量的坐标为______.

15.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱为一“堑堵”，其中，，，且该“堑堵”外接球的表面积为，则该“堑堵”的高为______.

16.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，，，.

（1）求边的高线的方程；

（2）过点的直线与直线的交点为，若、到的距离之比为，求的坐标.

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，底面，

（1）求证：平面平面；

（2）若是的中点，二面角的大小为45°且，求直线与平面所成角的正切值.

19.（本小题满分12分）

在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在中，内角，，的对边分别为，，，其中且满足______.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求的周长.

20.（本小题满分12分）

已知圆经过、两点，且圆心在直线上.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.

21.（本小题满分12分）

如图，在正方体中，点、分别为棱、的中点，点为底面对角线与的交点，点是棱上一动点.

（1）证明：直线平面；

（2）证明：.

22.（本小题满分12分）

已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点（点位于第三象限），点关于原点的对称点为.当时，的面积为1，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若的面积为，求直线的方程.