初中数学北师大版八年级上册2 一定是直角三角形吗同步达标检测题

北师大版八年级上册数学1.2一定是直角三角形吗 课时作业

一、单选题

1．如图①，某超市为了吸引顾客，在超市门只离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②，一个身高1.5m的学生刚走到处，门铃恰好自动响起，则该生头顶到门铃的距离为（　　）

A．7m B．6m C．5m D．4m

2．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么值为（   ）

A．25 B．9 C．13 D．169

3．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）

A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm

4．下列叙述中，正确的是   

A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方

B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º

D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则

5．三车魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘徽完成了《九章术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（    ）

A．《海岛算经》 B．《孙子算经》 C．《九章算术》 D．《五经算术》

6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）

A．3 B．4 C． D．

7．意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理.小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成.已知六边形的面积为28，.小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（    ）

A．16 B．20 C．22 D．24

8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用、表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（　　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

二、填空题

9．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，且AB=3，BC=5．

①线段OA的取值范围是              ；

②若BD-AC=1，则AC•BD=          ．

10．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为    ．

11．如图，一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是10m，高为13m，一只壁虎在距底面1m的A处，C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食，它爬行的最短路线长为     m．

12．如图，以数轴的单位长度线段为边作正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是          ,点B表示的数是                

13．如图，有一个圆柱，它的高为5cm，底面半径为cm，在点A的一只蚂蚁想吃到点B的食物，爬行的最短路程为     ．

三、解答题

14．如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边是1m，有一辆厢式小货车，高1.5米，宽1.6米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．

15．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．

（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．

16．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！

【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？

(1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示.

填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）

(2)推理验证：如图3，由勾股定理得，，

如图4，由勾股定理得，，

如图5，．

要使得的值最小，

∵

……（请补全推理过程）

∴

∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的．

(3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm．

(4)【问题回归】

最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m．

17．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．

（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC= ，OC△OA= ；

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；

（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．