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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.2 事件之间的关系与运算评课课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.2 事件之间的关系与运算评课课件ppt，共41页。PPT课件主要包含了目录索引等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 事件之间的关系
名师点睛1.对包含关系的理解(1)事件A也包含于事件A,即A⊆A.(2)A⊆B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充分条件,B 发生是A发生的必要条件.如果A⊆B,则P(A)≤P(B).2.对相等关系的理解(1)两个相等事件总是同时发生或同时不发生.(2)A=B⇔A⊆B且B⊆A.A=B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充要条件.如果A=B,则P(A)=P(B).
过关自诊掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判断A,B,C之间的包含关系.
解 当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上所述,事件A,B,C之间的包含关系为A⊆C,B⊆C.
知识点2 事件的运算1.和事件与积事件
样本点与B中的样本点
名师点睛1.对事件的和(并)的理解(1)按照定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.(2)不难看出,A⊆(A+B)且B⊆(A+B),因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B),而且,直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为P(A+B)≤P(A)+P(B).2.对事件的积(交)的理解(1)按照定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生.(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
2.互斥事件与对立事件
3.互斥事件的概率加法公式当A与B互斥(即AB=⌀时),有P(A+B)=P(A)+P(B).推广:一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).4.对立事件公式P(A)+P( )=1.
名师点睛1.对互斥事件的理解(1)任意两个基本事件都是互斥的,⌀与任意事件互斥.(2)事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.注意与事件A+B进行区别.2.对对立事件的理解在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生.3.互斥事件与对立事件的联系(1)如果A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则A+B是必然事件.
过关自诊1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次品,生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01.若从中抽查一件,则恰好得正品的概率为( )
解析 记事件A={甲级品},B={乙级品},C={丙级品},则A与B+C是对立事件,所以P(A)=1-P(B+C)=1-0.03-0.01=0.96.故选B.
2.[人教A版教材习题]抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”;E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.(1)C1与C2互斥;(2)C2,C3为对立事件;(3)C3⊆D2;(4)D3⊆D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=⌀;(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F为对立事件,(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.
解 该试验的样本空间可表示为Ω={1,2,3,4,5,6},由题意知Ci={i},D1={1,2},D2={3,4,5,6},D3={5,6},E={1,3,5},F={2,4,6}.(1)C1={1},C2={2},满足C1∩C2=⌀,所以C1与C2互斥,故正确;(2)C2={2},C3={3},满足C2∩C3=⌀但不满足C2∪C3=Ω,所以C2,C3为互斥事件,但不是对立事件,故错误;(3)C3={3},D2={3,4,5,6},C3⊂D2,故正确;(4)正确;(5)正确;(6)C5={5},C6={6},所以C5∪C6={5,6}=D3,故正确;(7)正确;(8)因为E∩F=⌀,E∪F=Ω,所以E,F为对立事件,故正确;(9)正确;(10)正确.
探究点一 互斥事件与对立事件的判定
【例1】 已知某医院的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加培训.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件.并说明理由.(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
解 (1)是互斥事件,但不是对立事件.理由:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不对立.(2)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.(4)是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们是互斥事件,“任选2名医生”包含“至少有1名男医生”“全是女医生”,故它们也是对立事件.
规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.①若事件A与B互斥,则集合A∩B=⌀;②若事件A与B对立,则集合A∩B=⌀且A∪B=Ω.可见两事件互斥是它们对立的必要条件.
变式训练1(多选题)[2023河北石家庄高一期末]一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件 “2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有( )A.2个小球不全为红球B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球D.2个小球都为绿球
解析 从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,这两个球可能为2个红球、2个绿球、2个蓝球、1个红球1个蓝球、1个红球1个绿球、1个蓝球1个绿球共6种情况.对于A,事件“2个小球不全为红球”与事件“2个小球都为红球”是对立事件,故A错误;对于B,事件“2个小球恰有1个红球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立事件,故B正确;对于C,事件“2个小球至少有1个红球”与事件“2个小球都为红球”能同时发生,不是互斥事件,故C错误;对于D,事件“2个小球都为绿球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立事件,故D正确.故选BD.
探究点二 事件的关系及运算
【例2】 [北师大版教材习题]在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件:(1)甲未中靶;(2)甲中靶而乙未中靶;(3)三人中只有丙未中靶;(4)三人中至少有一人中靶;(5)三人中恰有两人中靶.
(4)三人中至少有一人中靶:A∪B∪C.
规律方法 事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用维恩图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
变式训练2[北师大版教材习题]设某人向一个目标连续射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击命中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
解 (1)A1∩A2表示第1次射击与第2次射击都击中目标.
探究点三 互斥事件、对立事件的概率
角度1 互斥事件的概率【例3】 在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率和小明考试及格(60分及60分以上)的概率.
解 分别记小明的考试成绩在90分以上(含90分),在80~89分,在70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上(含80分)的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
变式探究请求出小明在数学考试中取得70分以下(不含70分)成绩的概率.
解 小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率P=1-P(B)-P(C)-P(D)=1-0.18-0.51-0.15=0.16.
规律方法 1.当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算.2.使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判定A,B是互斥事件.
角度2 对立事件的概率【例4】 [2023江苏高一专题练习]甲、乙两人对局,甲获胜的概率为0.30,成平局的概率为0.25,求:(1)甲不输的概率;(2)乙不输的概率.
解 (1)甲不输即为甲胜或成平局,记甲胜为事件A,平局为事件B.因为A∩B=⌀,所以A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.30+0.25=0.55,故甲不输的概率为0.55.(2)因为甲胜即乙输,所以甲获胜与乙不输互为对立事件,则乙不输的概率P=1-P(A)=1-0.3=0.7.
规律方法 求对立事件概率的关注点当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题.
变式训练3从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为 ,那么所选3人中都是男生的概率为 .
解析 记事件A:3人中至少有1名女生,事件B:3人都为男生,则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)= .
1.已知P(A)=0.3,P(B)=0.1,若B⊆A,则P(AB)=( )A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
解析 由于B⊆A,所以P(AB)=P(B)=0.1.故选A.
2.(多选题)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则( )
3.从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事件:①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”; ④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.其中是对立事件的是 .(填序号)
解析 从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 事件之间的关系
名师点睛1.对包含关系的理解(1)事件A也包含于事件A,即A⊆A.(2)A⊆B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充分条件,B 发生是A发生的必要条件.如果A⊆B,则P(A)≤P(B).2.对相等关系的理解(1)两个相等事件总是同时发生或同时不发生.(2)A=B⇔A⊆B且B⊆A.A=B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充要条件.如果A=B,则P(A)=P(B).
过关自诊掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判断A,B,C之间的包含关系.
解 当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上所述,事件A,B,C之间的包含关系为A⊆C,B⊆C.
知识点2 事件的运算1.和事件与积事件
样本点与B中的样本点
名师点睛1.对事件的和(并)的理解(1)按照定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.(2)不难看出,A⊆(A+B)且B⊆(A+B),因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B),而且,直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为P(A+B)≤P(A)+P(B).2.对事件的积(交)的理解(1)按照定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生.(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
2.互斥事件与对立事件
3.互斥事件的概率加法公式当A与B互斥(即AB=⌀时),有P(A+B)=P(A)+P(B).推广:一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).4.对立事件公式P(A)+P( )=1.
名师点睛1.对互斥事件的理解(1)任意两个基本事件都是互斥的,⌀与任意事件互斥.(2)事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.注意与事件A+B进行区别.2.对对立事件的理解在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生.3.互斥事件与对立事件的联系(1)如果A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则A+B是必然事件.
过关自诊1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次品,生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01.若从中抽查一件,则恰好得正品的概率为( )
解析 记事件A={甲级品},B={乙级品},C={丙级品},则A与B+C是对立事件,所以P(A)=1-P(B+C)=1-0.03-0.01=0.96.故选B.
2.[人教A版教材习题]抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”;E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.(1)C1与C2互斥;(2)C2,C3为对立事件;(3)C3⊆D2;(4)D3⊆D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=⌀;(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F为对立事件,(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.
解 该试验的样本空间可表示为Ω={1,2,3,4,5,6},由题意知Ci={i},D1={1,2},D2={3,4,5,6},D3={5,6},E={1,3,5},F={2,4,6}.(1)C1={1},C2={2},满足C1∩C2=⌀,所以C1与C2互斥,故正确;(2)C2={2},C3={3},满足C2∩C3=⌀但不满足C2∪C3=Ω,所以C2,C3为互斥事件,但不是对立事件,故错误;(3)C3={3},D2={3,4,5,6},C3⊂D2,故正确;(4)正确;(5)正确;(6)C5={5},C6={6},所以C5∪C6={5,6}=D3,故正确;(7)正确;(8)因为E∩F=⌀,E∪F=Ω,所以E,F为对立事件,故正确;(9)正确;(10)正确.
探究点一 互斥事件与对立事件的判定
【例1】 已知某医院的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加培训.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件.并说明理由.(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
解 (1)是互斥事件,但不是对立事件.理由:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不对立.(2)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.(4)是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们是互斥事件,“任选2名医生”包含“至少有1名男医生”“全是女医生”,故它们也是对立事件.
规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.①若事件A与B互斥,则集合A∩B=⌀;②若事件A与B对立,则集合A∩B=⌀且A∪B=Ω.可见两事件互斥是它们对立的必要条件.
变式训练1(多选题)[2023河北石家庄高一期末]一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件 “2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有( )A.2个小球不全为红球B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球D.2个小球都为绿球
解析 从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,这两个球可能为2个红球、2个绿球、2个蓝球、1个红球1个蓝球、1个红球1个绿球、1个蓝球1个绿球共6种情况.对于A,事件“2个小球不全为红球”与事件“2个小球都为红球”是对立事件,故A错误;对于B,事件“2个小球恰有1个红球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立事件,故B正确;对于C,事件“2个小球至少有1个红球”与事件“2个小球都为红球”能同时发生,不是互斥事件,故C错误;对于D,事件“2个小球都为绿球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立事件,故D正确.故选BD.
探究点二 事件的关系及运算
【例2】 [北师大版教材习题]在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件:(1)甲未中靶;(2)甲中靶而乙未中靶;(3)三人中只有丙未中靶;(4)三人中至少有一人中靶;(5)三人中恰有两人中靶.
(4)三人中至少有一人中靶:A∪B∪C.
规律方法 事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用维恩图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
变式训练2[北师大版教材习题]设某人向一个目标连续射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击命中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
解 (1)A1∩A2表示第1次射击与第2次射击都击中目标.
探究点三 互斥事件、对立事件的概率
角度1 互斥事件的概率【例3】 在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率和小明考试及格(60分及60分以上)的概率.
解 分别记小明的考试成绩在90分以上(含90分),在80~89分,在70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上(含80分)的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
变式探究请求出小明在数学考试中取得70分以下(不含70分)成绩的概率.
解 小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率P=1-P(B)-P(C)-P(D)=1-0.18-0.51-0.15=0.16.
规律方法 1.当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算.2.使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判定A,B是互斥事件.
角度2 对立事件的概率【例4】 [2023江苏高一专题练习]甲、乙两人对局,甲获胜的概率为0.30,成平局的概率为0.25,求:(1)甲不输的概率;(2)乙不输的概率.
解 (1)甲不输即为甲胜或成平局,记甲胜为事件A,平局为事件B.因为A∩B=⌀,所以A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.30+0.25=0.55,故甲不输的概率为0.55.(2)因为甲胜即乙输,所以甲获胜与乙不输互为对立事件,则乙不输的概率P=1-P(A)=1-0.3=0.7.
规律方法 求对立事件概率的关注点当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题.
变式训练3从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为 ,那么所选3人中都是男生的概率为 .
解析 记事件A:3人中至少有1名女生,事件B:3人都为男生,则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)= .
1.已知P(A)=0.3,P(B)=0.1,若B⊆A,则P(AB)=( )A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
解析 由于B⊆A,所以P(AB)=P(B)=0.1.故选A.
2.(多选题)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则( )
3.从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事件:①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”; ④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.其中是对立事件的是 .(填序号)
解析 从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.
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