数学4.2.5 正态分布课文配套ppt课件

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知识点一　正态曲线1.定义一般地,函数 对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称“钟形曲线”,φ(x)也常常记为φμ,σ(x)).其中μ=　　　　　,即X的均值;σ=　　　　　,即X的标准差. 
2.正态曲线的性质(1)正态曲线关于　　　　　对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点; (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为　　　　　;(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越　　　　　,所以曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越　　　　　,所以曲线越“瘦”. 
名师点睛1.正态曲线位于x轴上方,与x轴不相交.2.曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,其图象“中间高,两边低”.3.当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.4.正态曲线完全由变量μ和σ确定,参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数,所以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
过关自诊1.关于正态曲线特点的描述:①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方;②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方;③曲线关于y轴对称,曲线对应的函数是一个偶函数;④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;⑥σ越大,曲线越“胖”,σ越小,曲线越“瘦”.说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　A.①④⑤⑥B.②④⑤C.③④⑤⑥D.①⑤⑥
解析 参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,只有当μ=0时,正态曲线才关于y轴对称,因此A选项正确.
2.[北师大版教材习题改编]若随机变量ξ~N(μ,σ2),其概率密度函数为 (x∈R),则σ的值为(　　)A.1B.2C.4D.8
知识点二　正态分布1.正态分布一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的　　　　　,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~　　　　　. 此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数,此时μ是X的　　　　　,σ是X的　　　　　,σ2是X的　　　　　. 
2.随机变量X在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则(1)在三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则①P(|X-μ|≤σ)=　　　　　　　≈　　　　　, ②P(|X-μ|≤2σ)=　　　 　　　　≈　　　　　, ③P(|X-μ|≤3σ)=　 　　　　　　≈　　　　　. 
P(μ-σ≤X≤μ+σ)
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)
(2)3σ原则由于随机变量X在(-∞,+∞)内取值的概率为1,又由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”. 　　　通常认为这种情况几乎不可能发生名师点睛X几乎都取值于区间[μ-3σ,μ+3σ]之内,而在此区间以外取值的概率是极小的,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这是统计中常用的检验的基本思想.
3.标准正态分布μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~　　　　　. 过关自诊1.如果随机变量X~N(4,1),则P(X<2)等于(　　)　　　　　　　　　　　　　
2.已知随机变量X服从正态分布,且X落在区间(0.2,+∞)内的概率为0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=　　　　　时达到最高点. 3.[人教A版教材习题改编]设随机变量X~N(0,1),则X的概率密度函数为　　 　 　,P(|X|≤1)=　　　　,P(X≤1)=　　　　,P(X>1)=　　　　.(精确到0.001) 
解析 由正态曲线关于直线x=μ对称,且在x=μ处达到峰值和其落在区间(μ,+∞)内的概率为0.5,得μ=0.2.
探究点一　正态曲线及其性质
【例1】 某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同
解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越“胖”;σ越小,正态曲线越“瘦”.故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.
规律方法　利用正态曲线的性质求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此性质结合图象可求σ.(3)由曲线的“胖瘦”区分σ的大小.
变式训练1(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布 ,其密度函数图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99
解析 由图象可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,故A,C正确;甲图象比乙图象更高瘦,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99,即 =1.99,σ2≠1.99,故D错误.故选ABC.
探究点二　正态分布下的概率计算
【例2】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=(　　)A.0.6D.0.2
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,其图象的对称轴是直线x=2.∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.
(2)[人教A版教材习题改编]某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:①165≤X≤175;②X<165;③X>175.
解 ∵X~N(170,52),∴μ=170,σ=5.∴①P(165≤X≤175)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683.②P(X<165)= [1-P(165≤X≤175)]≈ ×(1-0.683)=0.158 5.③P(X>175)=P(X<165)=0.158 5.
规律方法　服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和正态曲线与x轴所围成的图形面积为1.(2)注意概率值的求解转化:①P(X变式训练2(1)如果随机变量ξ~N(0,1),且P(ξ>1)=0.3,则P(0≤ξ≤1)等于(　　)A.0.4D.0.5
解析 (1)由题意,随机变量ξ~N(0,1),P(ξ>1)=0.3,则P(ξ<-1)=0.3,所以,P(0≤ξ≤1)= P(-1≤ξ≤1)= (1-0.3-0.3)=0.2.故选B.
(2)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是(　　)A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
解析 对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.故选D.
探究点三　正态分布的实际应用
【例3】 (1)[北师大版教材习题]一批电阻的阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1 000,52),现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一只电阻,测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω,可以认为　　　　.(填写所有正确结论的序号) ①甲、乙两箱电阻均可出厂;②甲、乙两箱电阻均不可出厂;③甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂;④甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂.
解析 因为X~N(1 000,52),所以μ=1 000,σ=5.所以μ-3σ=1 000-3×5=985, μ+3σ=1 000+3×5=1 015.因为1 011∈[985,1 015],982∉[985,1 015],所以甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.
(2)设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班共54名学生,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.
解 由题得μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,∴P(X-μ<-σ)=0.158 5.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 5=0.841 5.∴54×0.841 5≈45(人),即及格人数约为45人.∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,∴P(X-μ>σ)=0.158 5,即P(X>130)=0.158 5.∴54×0.158 5≈9,即130分以上的人数约为9.
变式探究 如果例3(2)中把条件“这个班共54名学生”换成“现已知该班同学中不及格的有9人”,求相应结论.
解 ∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20,∴P(110-20≤X≤110+20)≈0.683,∴X<90的概率约为 ×(1-0.683)=0.158 5.设该班学生共有x人,则0.158 5x=9,解得x≈57.∴P(X≥90)=1-0.158 5=0.841 5,∴这个班在这次数学考试中及格的人数为0.841 5×57≈48(人),又P(X<90)=P(X>130),∴130分以上的人数约为9.
规律方法　1.利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出.2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握随机变量在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率值.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.3.利用“3σ原则”可进行合理性分析.
变式训练3[人教A版教材例题改编]小明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30 min,样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.如果某天有38 min可用,小明应选择哪种交通工具?如果某天只有34 min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.
解 对于随机变量X,样本的均值为30,样本的标准差为6;对于随机变量Y,样本的均值为34,样本的标准差为2.用样本的均值估计参数μ,用样本的标准差估计参数σ,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.P(X≤38)P(Y≤34).所以,如果有38 min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34 min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.
1.下列函数是正态分布密度函数的是(　　)
2.经统计,某市高三学生期末数学成绩X~N(85,σ2),且P(80≤X≤90)=0.3,则从该市任选一名高三学生,其成绩不低于80分的概率是(　　)
解析 由已知P(X>90)= [1-P(80≤X≤90)]= ×(1-0.3)=0.35,所以P(X≥80)=P(80≤X≤90)+P(X>90)=0.3+0.35=0.65.故选B.
3.某县农民的月均收入ξ服从正态分布,即ξ~N(1 000,402),则此县农民月均收入在1 000元到1 080元间人数的百分比为　　　　.(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954) 
4.[2023北京临川学校高二期中]上次月考刚好有900名学生参加考试,学生的数学成绩ξ~N(105,102),且P(95≤ξ≤105)=0.34,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为　　　　. 
解析 ∵学生的数学成绩ξ~N(105,102),且P(95≤ξ≤105)=0.34, ∴P(105≤ξ≤115)=0.34,∴P(ξ>115)=0.5-0.34=0.16,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为900×0.16=144(人).