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人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.3 统计模型4.3.1 一元线性回归模型教学ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.3 统计模型4.3.1 一元线性回归模型教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了目录索引，一次函数，回归系数，规律方法，BCD等内容，欢迎下载使用。
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知识点一 相关关系1.变量之间的常见关系
2.散点图(1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量.(2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图.
3.线性相关关系(1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用 来刻画,则称x与y线性相关. (2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也 ,则称这两个变量正相关. (3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上 ,则称这两个变量负相关.
名师点睛两个随机变量x和y相关关系的判定方法(1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断.(2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断.(3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.
过关自诊5个学生的数学成绩和物理成绩如下表:
则数学成绩与物理成绩之间( )A.是函数关系B.没有相关关系C.具有相关关系,且是正相关D.具有相关关系,且是负相关
解析 作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有相关关系,且是正相关.
知识点二 回归直线方程1.回归直线方程
2.最小二乘法确定回归直线方程
其中, 称为 .它实际上也就是回归直线方程的斜率.
3.回归直线方程的性质(1)回归直线一定过点 . (2)回归直线方程 , 时,y与x正相关; 时,y与x负相关.
名师点睛求回归直线方程的步骤第一步:列表;第四步:写出回归直线方程.
过关自诊1.已知x,y的取值如下表所示:
知识点三 相关系数1.相关系数r的计算公式假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则变量间相关系数r的计算公式如下:
2.相关系数r的性质(1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0.(2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.(3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.
名师点睛1.相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切程度,不能揭示二者之间的本质联系.2.判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性相关系数来判断.3.相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要建立两变量间的回归直线方程.4.相关系数r与回归系数 同号.
过关自诊已知变量x与y之间的线性相关系数r1=0.785 9,变量u与v之间的线性相关系数r2=-0.956 8,则下列判断正确的是( )A.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关性较强B.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关性较强C.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关性较强D.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关性较强
解析 由线性相关系数r1=0.785 9>0知x与y正相关,由线性相关系数r2=-0.956 8<0知u与v负相关,又|r1|<|r2|,所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强,故选C.
知识点四 非线性回归常见的非线性回归模型转化为线性回归模型
名师点睛解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量:确定变量x,变量y.(2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型.(3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题.(4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果.(5)写出非线性回归方程.
过关自诊两个变量x,y的散点图如图,可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )
A.y=a·xb B.y=a·ebC.y=a+bln xD.
解析 由散点图可知,此曲线类似对数函数型曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合,而选项A,B,D中函数模型不符合散点图.故选C.
探究点一 相关关系的判断
【例1】 (1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( )A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角度数之和D.人的年龄和身高
解析 A,B,C都是函数关系.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高.故选D.
(2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关
解析 由图象知,变量x与y负相关;u与v正相关.
变式训练1(1)某公司2017—2022年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示:
根据统计资料,则( )A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系
解析 由表知,利润中位数是 ×(16+18)=17,且y随x的增大而增大,故选C.
(2)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).用r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则下列正确的是( )A.r2
【例2】 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:
(1)请根据上表数据画出散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程(3)已知该厂技术改进前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改进前降低多少吨标准煤?
解 (1)散点图,如图所示:
(3)根据回归直线方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100+0.35=70.35(吨),故降低了90-70.35=19.65吨标准煤.
规律方法 回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图;(2)求回归直线方程,注意运算的正确性;(3)根据回归直线方程进行预测估计,估计值不是实际值,两者会有一定的误差.
【例3】 已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表:
(1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关;(2)若y与x线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)与平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)之间的回归直线方程,并估计平均每单位面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量.
解 (1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下:
这说明平均每单位面积蔬菜年产量与平均每单位面积菜地年使用氮肥量之间存在着很强的线性相关关系.
规律方法 回归分析问题的答题模板第一步:由已知数据求出相关系数r.第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关.第三步:计算 ,求出回归直线方程.第四步:利用回归方程进行预测.
变式训练2某地区某农产品近几年的产量统计如表:
(1)根据表中数据,求y关于t的回归直线方程;(2)根据回归直线方程预测2023年该地区该农产品的年产量.
探究点三 非线性回归分析
【例4】 下表为收集到的一组数据:
(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系;(2)求y关于x的回归方程;(3)利用所得模型,预测x=40时y的值(结果保留整数).
(2)对 两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为:
(3)当x=40时,y=e0.272×40-3.849≈1 131.
规律方法 非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y=ebx+a①函数y=ebx+a的图象:
②处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b.
(2)对数函数型y=bln x+a①函数y=bln x+a的图象:
②处理方法:设x'=ln x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.(3)y=bx2+a型处理方法:设x'=x2,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
变式训练3某公司在市场调查中,发现某产品的单位定价x(单位:万元/吨)对月销售量y(单位:吨)有影响.对不同定价xi和月销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,如下表.
(1)求y关于x的回归方程;(2)若生产1吨产品的成本为1.6万元,那么预计价格定位多少时,该产品的月利润T(单位:万元)取最大值,求此时的月利润.
∴若生产1吨产品的成本为1.6万元,那么预计价格定位2万元时,该产品的月利润取最大值,最大月利润为0.2万元.
1.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是( )
A.r2
3.(多选题)[2023广东广州番禺高三阶段练习]在研究某种产品的零售价x(单位:元)与销售量y(单位:万件)之间的关系时,根据所得数据得到如下所示的对应表:
利用最小二乘法计算数据,得到的回归直线方程为 ,则下列说法中正确的是( )A.x与y的样本相关系数r>0B.回归直线必过点(16,14.2)C. <0D.若该产品的零售价定为22元,可预测销售量是9.7万件
4.如图有5组数据,去掉点 后,剩下的4组数据的线性相关性更强.
基础落实·必备知识全过关
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知识点一 相关关系1.变量之间的常见关系
2.散点图(1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量.(2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图.
3.线性相关关系(1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用 来刻画,则称x与y线性相关. (2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也 ,则称这两个变量正相关. (3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上 ,则称这两个变量负相关.
名师点睛两个随机变量x和y相关关系的判定方法(1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断.(2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断.(3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.
过关自诊5个学生的数学成绩和物理成绩如下表:
则数学成绩与物理成绩之间( )A.是函数关系B.没有相关关系C.具有相关关系,且是正相关D.具有相关关系,且是负相关
解析 作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有相关关系,且是正相关.
知识点二 回归直线方程1.回归直线方程
2.最小二乘法确定回归直线方程
其中, 称为 .它实际上也就是回归直线方程的斜率.
3.回归直线方程的性质(1)回归直线一定过点 . (2)回归直线方程 , 时,y与x正相关; 时,y与x负相关.
名师点睛求回归直线方程的步骤第一步:列表;第四步:写出回归直线方程.
过关自诊1.已知x,y的取值如下表所示:
知识点三 相关系数1.相关系数r的计算公式假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则变量间相关系数r的计算公式如下:
2.相关系数r的性质(1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0.(2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.(3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.
名师点睛1.相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切程度,不能揭示二者之间的本质联系.2.判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性相关系数来判断.3.相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要建立两变量间的回归直线方程.4.相关系数r与回归系数 同号.
过关自诊已知变量x与y之间的线性相关系数r1=0.785 9,变量u与v之间的线性相关系数r2=-0.956 8,则下列判断正确的是( )A.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关性较强B.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关性较强C.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关性较强D.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关性较强
解析 由线性相关系数r1=0.785 9>0知x与y正相关,由线性相关系数r2=-0.956 8<0知u与v负相关,又|r1|<|r2|,所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强,故选C.
知识点四 非线性回归常见的非线性回归模型转化为线性回归模型
名师点睛解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量:确定变量x,变量y.(2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型.(3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题.(4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果.(5)写出非线性回归方程.
过关自诊两个变量x,y的散点图如图,可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )
A.y=a·xb B.y=a·ebC.y=a+bln xD.
解析 由散点图可知,此曲线类似对数函数型曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合,而选项A,B,D中函数模型不符合散点图.故选C.
探究点一 相关关系的判断
【例1】 (1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( )A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角度数之和D.人的年龄和身高
解析 A,B,C都是函数关系.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高.故选D.
(2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关
解析 由图象知,变量x与y负相关;u与v正相关.
变式训练1(1)某公司2017—2022年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示:
根据统计资料,则( )A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系
解析 由表知,利润中位数是 ×(16+18)=17,且y随x的增大而增大,故选C.
(2)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).用r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则下列正确的是( )A.r2
【例2】 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:
(1)请根据上表数据画出散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程(3)已知该厂技术改进前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改进前降低多少吨标准煤?
解 (1)散点图,如图所示:
(3)根据回归直线方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100+0.35=70.35(吨),故降低了90-70.35=19.65吨标准煤.
规律方法 回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图;(2)求回归直线方程,注意运算的正确性;(3)根据回归直线方程进行预测估计,估计值不是实际值,两者会有一定的误差.
【例3】 已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表:
(1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关;(2)若y与x线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)与平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)之间的回归直线方程,并估计平均每单位面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量.
解 (1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下:
这说明平均每单位面积蔬菜年产量与平均每单位面积菜地年使用氮肥量之间存在着很强的线性相关关系.
规律方法 回归分析问题的答题模板第一步:由已知数据求出相关系数r.第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关.第三步:计算 ,求出回归直线方程.第四步:利用回归方程进行预测.
变式训练2某地区某农产品近几年的产量统计如表:
(1)根据表中数据,求y关于t的回归直线方程;(2)根据回归直线方程预测2023年该地区该农产品的年产量.
探究点三 非线性回归分析
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(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系;(2)求y关于x的回归方程;(3)利用所得模型,预测x=40时y的值(结果保留整数).
(2)对 两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为:
(3)当x=40时,y=e0.272×40-3.849≈1 131.
规律方法 非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y=ebx+a①函数y=ebx+a的图象:
②处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b.
(2)对数函数型y=bln x+a①函数y=bln x+a的图象:
②处理方法:设x'=ln x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.(3)y=bx2+a型处理方法:设x'=x2,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
变式训练3某公司在市场调查中,发现某产品的单位定价x(单位:万元/吨)对月销售量y(单位:吨)有影响.对不同定价xi和月销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,如下表.
(1)求y关于x的回归方程;(2)若生产1吨产品的成本为1.6万元,那么预计价格定位多少时,该产品的月利润T(单位:万元)取最大值,求此时的月利润.
∴若生产1吨产品的成本为1.6万元,那么预计价格定位2万元时,该产品的月利润取最大值,最大月利润为0.2万元.
1.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是( )
A.r2
3.(多选题)[2023广东广州番禺高三阶段练习]在研究某种产品的零售价x(单位:元)与销售量y(单位:万件)之间的关系时,根据所得数据得到如下所示的对应表:
利用最小二乘法计算数据,得到的回归直线方程为 ,则下列说法中正确的是( )A.x与y的样本相关系数r>0B.回归直线必过点(16,14.2)C. <0D.若该产品的零售价定为22元,可预测销售量是9.7万件
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