高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列课堂教学课件ppt

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1.理解等差数列的概念,并能利用等差数列的定义判断或证明一个数列是不是等差数列;2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念;3.掌握等差数列的性质,并能在具体问题中正确应用;4.了解等差数列与一次函数的关系.
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1.等差数列的定义一般地,如果数列{an}从　　　　　　 起,每一项与它的前一项之差都等于　　　　　　　　　　,即　　　　　　　　恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的　　　　. 
2.等差数列的通项公式一般地,如果等差数列{an}的首项是a1, 公差是d,那么等差数列的通项公式为　　　　　　　　.
an=a1+(n-1)d
名师点睛等差数列的通项公式an中共含有四个变量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.
3.等差数列与一次函数的关系在等差数列{an}中,因为an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,所以,如果记f(x)=dx+a1-d,则可以看出an=f(n),而且(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);(2)当公差d≠0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列.
名师点睛1.等差数列通项公式的等价表达形式(1)an=am+(n-m)d(m,n∈N+);(2)an=kn+b(k,b是常数,n∈N+),此时数列的公差为k.
过关自诊1.[人教A版教材习题]判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差.(1)95,82,69,56,43,30;(2)1,1.1,1.11,1.111,1.111 1,1.111 11;(3)1,-2,3,-4,5,-6;
解(1)是等差数列,公差为-13.(2)不是等差数列.(3)不是等差数列.(4)是等差数列,公差为
2.已知数列{an}是等差数列,且a5=11,a8=5,求an.
解(方法一)设数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,
∴an=-2n+21.(方法二)设数列{an}的公差为d,则a8=a5+3d,即5=11+3d,∴d=-2.∵a5=a1+(5-1)×d,∴a1=19,∴an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21.
(方法三)设an=kn+b(k,b是常数),
1.等差中项如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的等差中项,此时,A=　　　　　. 
任意两个数均有等差中项且唯一
2.等差数列的性质一般地,如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at=ap+aq.特别地,如果2s=p+q,则2as=ap+aq.
名师点睛数列{an}是公差为d的等差数列,(1)若有穷数列{an}是等差数列,则分别与首末两项序号差的绝对值相等的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…;(2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列;(3)序号成等差数列,且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列;(4)若数列{bn}也为等差数列,则{an±bn}也是等差数列.
过关自诊1.已知等差数列{an}中,a5+a12=16,a7=1,则a10的值是(　　)A.30B.15C.31D.64
解析 由等差数列性质可知a5+a12=a7+a10,所以1+a10=16,解得a10=15.故选B.
2.[人教A版教材习题]求下列各组数的等差中项:(1)647和895;
探究点一　等差数列的判定或证明
【例1】 [北师大版教材例题改编]判断下面数列是否为等差数列,若为等差数列,请写出其公差.(1)an=2n-1;(2)an=(-1)n.
解(1)由an=2n-1,得an+1=2(n+1)-1,于是an+1-an=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2.所以该数列是公差为2的等差数列.(2)a2-a1=1-(-1)=2,a3-a2=-1-1=-2.因为a2-a1≠a3-a2,所以这个数列不是等差数列.
规律方法　等差数列的判定方法
变式训练1若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n,试证明数列{an}为等差数列.
证明∵an=10+lg 2n=10+nlg 2,∴an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2,∴数列{an}是首项为a1=10+lg 2,公差为lg 2的等差数列.
探究点二　等差数列的通项公式及应用
【例2】 在等差数列{an}中,a4=70,a21=-100,求数列的首项a1与公差d,并写出通项公式.
解根据题意,设数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,
所以an=100-10(n-1)=-10n+110.
变式探究若本例中条件不变,数列{an}中有多少项属于区间[-18,18]?
解由例2可知,an=-10n+110.令-18≤-10n+110≤18,得9.2≤n≤12.8.又因为n∈N+,所以n=10,11,12,故数列{an}中有3项属于区间[-18,18].
规律方法　等差数列通项公式的求法与应用(1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d.(2)等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个参数,如果已知其中任意三个数,就可以通过解方程的方法求出第四个数.
变式训练2[人教A版教材例题]-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?
解由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1.令-4n-1=-401,解这个关于n的方程,得n=100.所以,-401是这个数列的项,是第100项.
探究点三　等差数列性质的应用
【例3】 (1)在等差数列{an}中,已知a1,a2 023为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2 022等于(　　)A.10B.15C.20D.40
解析 根据根与系数的关系及等差数列的性质可得a2+a2 022=a1+a2 023=10.
(2)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=　　　　　. 
解析 因为数列{an}是等差数列,所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.
变式训练3(1)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　　. 
解析 因为{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,所以a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.
(2)[北师大版教材习题改编]已知△ABC的三个内角的弧度数成等差数列,求中间的角的弧度数.
解设三角形三个内角的弧度数按由小到大的顺序依次为a1,a2,a3,则a1+a2+a3=3a2=π,
探究点四　构造等差数列求通项公式
【例4】 [2023江苏盐城高二期末]已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足
当n=1时,a1=1满足上式,所以an=n.
规律方法　构造法求数列通项的求解策略给出数列的关系式求通项公式时,根据关系式的结构特点灵活地应用“平方法”“开方法”“取倒数法”等,往往会构造出一个新数列满足等差数列的条件.从而利用新数列的通项公式,间接求出所求数列的通项公式.
变式训练4已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　　. 
1.数列{an}的通项公式为an=5-3n,则此数列(　　)A.是公差为-3的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列
解析 因为a1=5-3=2,an+1-an=5-3(n+1)-(5-3n)=-3,所以数列{an}是以2为首项,-3为公差的等差数列.故选A.
2.已知等差数列{an}满足a6-a4=2,则其公差d的值为(　　)A.-1B.1C.-2D.2
解析 因为数列{an}是等差数列,所以a6-a4=2d=2,所以d=1.故选B.
3.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=　　　　. 
解析 设数列{an}的公差为d,则a5-a2=3d=6,∴a6=a3+3d=7+6=13.
4.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为　　　　　. 
解析 设这三个数为a-d,a,a+d,
∴这三个数为-1,3,7,∴它们的积为-21.