高中5.3.1 等比数列课堂教学课件ppt

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1.理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列;2.掌握等比数列的通项公式和等比中项的概念;3.掌握等比数列的性质,并能利用其解决有关等比数列的问题;4.了解等比数列与函数的关系.
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1.等比数列的概念一般地,如果数列{an}从　　　　　　起,每一项与它的前一项之比都等于　　　　　　　　,即 =q恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的　　　　. 
2.等比数列的通项公式一般地,如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q,那么其通项公式为　 . 3.等比数列与函数的关系
名师点睛对等比数列的几点说明(1)等比数列的每一项均不为0.(2)在等比数列{an}中,已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得另一个量.(3)数列{an}是等比数列的充要条件是an=kqn,其中k,q都是不为0的常数.
2.在等比数列{an}中,你会用第m项am与公比q来表达{an}的通项公式吗?
解设{an}的首项为a1,则am=a1qm-1,①an=a1qn-1,②
3.[人教A版教材习题]判断下列数列是否是等比数列.如果是,写出它的公比.(1)3,9,15,21,27,33;(2)1,1.1,1.21,1.331,1.464 1;
(4)4,-8,16,-32,64,-128.
解(1)不是.(2)是,公比是1.1.(3)不是.(4)是,公比是-2.
1.如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的等比中项,且G2=xy.2.一般地,如果{an}是等比数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则asat=apaq.特别地,如果2s=p+q,则 =apaq.
A.1B.-1C.±1D.2
∴x=±1.故选C.
2.已知数列{an}为等比数列,且an>0.若a5a7+2a6a8+a7a9=49,则a6+a8=　　　　　.
探究点一　等比数列的判定或证明
证明(1)由a1=3,d=2,得{an}的通项公式为an=2n+1.
两边取以3为底的对数,得lg3an=lg333-2n=3-2n.所以lg3an+1-lg3an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2.又lg3a1=lg33=1,所以,{lg3an}是首项为1,公差为-2的等差数列.
规律方法　等比数列的判定方法
变式训练1[北师大版教材习题改编]将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列(　　)A.是公比为q的等比数列B.是公比为q2的等比数列C.是公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列
探究点二　等比数列的通项公式及应用
【例2】 在等比数列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
解(1)(方法一)设数列{an}的公比为q,
(2)(方法一)设数列{an}的公比为q,
所以n=6.(方法二)设数列{an}的公比为q.
由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.
变式探究将本例2(1)中的条件“a4=2,a7=8”改为“a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列”,结论又如何?
解设等比数列{an}的公比为q.
规律方法　等比数列基本运算的求解策略由等比数列的通项公式可知,若已知a1,q,n,an中的三个,便可通过建立方程或方程组求出另一个,这是解这类问题的基本思想方法.但对于具体问题,则应具体观察和分析,找到较为简捷的解题方法,如整体思想、设而不求思
探究点三　等比数列性质的应用
【例3】 (1)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=(　　)A.12B.10C.8D.2+lg35
解析 由题意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,得a5a6=a4a7=9,而lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=lg3(a1·a2·…·a10)=lg3(a5a6)5=lg395=lg3310=10.
(2)[人教A版教材习题]已知数列{an}是等比数列.①a3,a5,a7是否成等比数列?为什么?a1,a5,a9呢?②当n>1时,an-1,an,an+1是否成等比数列?为什么?当n>k>0时,an-k,an,an+k成等比数列吗?
解设{an}的公比为q.①a3,a5,a7成等比数列,理由如下:
②an-1,an,an+1(n>1)成等比数列,理由如下:
an,an+k(n>k>0)也成等比数列.
规律方法　等比数列的主要性质(1)两个等比数列的积仍为等比数列;(2)若等比数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积;(3)在公比为q的等比数列{an}中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为qk+1;(4)在等比数列{an}中,当m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列时,am,an,ap成等比数列.
变式训练2已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=(　　)
1.[2023广东佛山顺德容山中学高二阶段练习]已知数列{an}是等比数列,且a2=2,a3a5=16,则公比q=(　　)
解析 因为数列{an}是等比数列,且a2=2,a3a5=16,所以a2q·a2q3=16,解得q4=4,则q=± .故选D.
2.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a5+a7=160,则a1=(　　)A.0B.1C.2D.4
解析 设数列{an}的公比为q.∵a1+a3=10,a5+a7=160,
3.已知等比数列{an}中,a2,a9是方程x2-7x+10=0的两根,则a4a7的值为(　　)A.8B.10C.14D.16
解析 ∵a2,a9是方程x2-7x+10=0的两根,∴a2a9=10.根据等比数列的性质有a4a7=a2a9=10.故选B.
当q≠1时,mqnd(q-1)不恒为定值,故D错误.故选AC.
5.在两数1,16之间插入3个数,使这5个数成等比数列,则中间的数等于　　　　. 
解析 设插入的三个数为a,b,c,则1,b,16成等比数列,则有b2=1×16=16.又b与1同号,∴b=4.