高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列习题课件ppt

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1.进一步理解等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式;2.理解等差数列的性质和等差数列前n项和的性质.
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探究点一　等差数列的基本运算
【例1】 [北师大版教材习题]在等差数列{an}中:(1)已知S8=48,S12=168,求a1和d;(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
规律方法　等差数列的基本运算的解题方法(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.
变式训练1已知等差数列{an}中,
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d;(3)S5=24,求a2+a4.
整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去).
解得n=4.又an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
探究点二　等差数列前n项和的函数特征
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-kn,a2=2.(1)求数列{an}的通项公式并判断数列是不是等差数列;(2)求Sn-10an的最小值.
解(1)由题意可得a2=S2-S1=(4-2k)-(1-k)=3-k=2,解得k=1,所以Sn=n2-n.当n=1时,a1=S1=0;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-n)-[(n-1)2-(n-1)]=2n-2,a1=0也满足an=2n-2,故数列{an}的通项公式为an=2n-2,此时an+1-an=2(n+1)-2-(2n-2)=2,∴{an}是公差为2的等差数列.
或n=11时,Sn取得最小值,且最小值为-90.
规律方法　一般地,对于前n项和Sn=An2+Bn+C的数列{an},当C=0时,{an}是等差数列;当C≠0时,除a1外,其他的项成等差数列.
变式训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-30n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn的最小值及对应的n的值.
解(1)∵Sn=n2-30n,∴当n=1时,a1=S1=-29;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-30n)-[(n-1)2-30(n-1)]=2n-31.∵当n=1时也满足此式,∴数列{an}的通项公式为an=2n-31.(2)Sn=n2-30n=(n-15)2-225.当n=15时,Sn最小,且最小值为-225.
探究点三　与等差数列相关的特殊数列的求和问题
【例3】 已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;
规律方法　裂项相消法对于形如 (其中{an}为等差数列)的求和问题一般用裂项相消法,它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项),并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项,其余各项都能前后相抵消,进而可求出数列的前n项和.常用到的裂项公式有如下形式:
变式训练3设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S3=12.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列 的前n项和为Tn,求T2 023的值.
解(1)设{an}的公差为d.∵S3=3a2=12,∴a2=4,∴d=a2-a1=2,∴an=2+2(n-1)=2n.
探究点四　等差数列前n项和中的最值问题
【例4】 已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn是它的前n项和,S10=S22.(1)求Sn.(2)这个数列前多少项的和最大?求出这个最大值.
解(1)∵S10=a1+a2+…+a10,S22=a1+a2+…+a22,又S10=S22,
(2)由(1)可知Sn=32n-n2=-(n-16)2+256,∴当n=16时,Sn有最大值,Sn的最大值是256.
规律方法　1.已知等差数列的前n项和公式求最值,一般要运用配方法求解,即借助于二次函数的性质求解.2.已知和关系求最值在等差数列{an}中,(1)若a1>0,且Sp=Sq(p≠q),则
(2)若a1<0,且Sp=Sq(p≠q),则
变式训练4已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么使Sn取得正值的最大的n等于多少?
解由已知得,数列{an}是首项为正数,公差为负数的等差数列,
∴使Sn取得正值的最大的n为19.
1.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20的值为(　　)A.-1B.1C.3D.7
解析 设数列{an}的公差为d.由已知得a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=a4-a3=-2,∴a20=a3+17d=35+(-2)×17=1.
2.设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn=n2+2n,则a2 023=(　　)A.4 045B.4 044C.4 047D.2 023
解析 (方法一)a2 023=S2 023-S2 022=2 0232+2×2 023-2 0222-2×2 022=4 047.(方法二)∵Sn=n2+2n,∴当n=1时,a1=S1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,当n=1时,也适合上式,∴an=2n+1,则a2 023=2×2 023+1=4 047.故选C.
3.中国古代数学专著《九章算术》中有这样一题:今有男子善走,日增等里,九日走1 260里,又第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的路程为(　　)A.240里B.120里C.100里D.90里
解析 因为男子善走,日增等里,所以其每天走的路程成等差数列.设这个等差数列为{an},其公差为d,前n项和为Sn,
4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且S2=35,a2+a3+a4=39,则当Sn取最大值时,n的值为　　　　. 
解析 (方法一)设数列{an}的公差为d,
又n∈N+,∴当n=7时,Sn取得最大值.
(方法二)设等差数列{an}的公差为d.∵a2+a3+a4=3a3=39,∴a3=13,∴2a3-S2=(a3-a2)+(a3-a1)=3d=-9,解得d=-3,则an=a3+(n-3)d=22-3n.
∴n=7,即数列{an}的前7项为正数,从第8项起各项均为负数,故当n=7时,Sn取得最大值.
5.已知数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=　　　　　. 
解析 设数列{an}的前n项和为Sn.∵an+1-an=3,∴数列{an}是等差数列,
∴当n=21时,an=0;当n>21时,an>0;当n<21时,an<0,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-a1-a2-a3-…-a21+a22+a23+…+a30=-2S21+S30