新教材2023_2024学年高中数学第五章数列本章总结提升课件新人教B版选择性必修第三册

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第五章本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引 知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一　等差(比)数列的基本运算1.等差(比)数列的基本运算主要考查数列通项公式及前n项和公式,一般运用列方程(组)的方法.2.通过等差、等比数列的基本运算,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例1】 在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q,由已知,得16=2q3,解得q=2,∴an=2×2n-1=2n.(2)由(1)得,a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.设{bn}的公差为d,所以bn=-16+12(n-1)=12n-28,所以数列{bn}的前n项和变式训练1[2023辽宁辽阳高二期末]设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a3=9,S3=63.(1)求{an}的通项公式;(2)记{an}的前n项积为Tn,求使得Tn取得最大值的n的值.解(1)设{an}的公比为q,由题可知q>0.因为a3=9,S3=63,所以q≠1,(2)由(1)知an=9×( )n-3,所以当n≤6时,an>1;当n≥7时,00即可,故λ<4,即实数λ的取值范围为(-∞,4).专题三　数列求和1.数列求和是考查的热点,一般情况下,数列求和转化为等差数列或等比数列的求和问题.2.通过数列求和,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解(1)易知k≠0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),∵a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,∴an=2n.当n=1时,a1=S1=2,适合上式.综上所述,an=2n(n∈N+).(2)由(1),得nan=n×2n,则Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n,2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,两式作差,得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,∴Tn=2+(n-1)×2n+1.变式探究本例中的条件不变,(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列{n+an}的前n项和Tn”.解由题意,知n+an=n+2n,则Tn=1+2+2+22+3+23+…+n+2n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)规律方法　数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式.(2)分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项相消法:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.(4)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加法:例如等差数列前n项和公式的推导.D 解析 设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2.当n=1时,T1=b1=1,当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=n2-(n-1)2=2n-1.b1=1符合上式,所以bn=2n-1(n∈N+).专题四　等差(比)数列的判定1.判定等差(比)数列是数列中的重点内容,通常情况下,需要对给定条件进行变形,然后结合定义进行证明.2.通过等差(比)数列的判定与证明,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.【例4】 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+).(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列;证明(1)an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=3a1+2=5,所以b1=a2-2a1=3≠0,所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列. (2)由(1),知bn=3·2n-1=an+1-2an, 所以数列{cn}是公差为3,首项为2的等差数列.  变式训练4[2023江苏连云港高二期末]若数列{an}满足:a1=2,a2=8,对任意的正整数n,都有an+2=6an+1-9an.(1)证明:数列{an+1-3an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明由a1=2,a2=8,得a2-3a1=2≠0,由an+2=6an+1-9an,得 所以数列{an+1-3an}是以2为首项,3为公比的等比数列.